Сумма бесконечной геометрической прогрессии (парадокс Зенона

[Tarsik]

Пример из книги. Наверное каждый знает парадокс Зенона о Ахиллесе и черепахе:
"... Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности "
Путь который должен преодолеть Ахиллес до встречи с черепахой вычисляется по формуле суммы геометрической прогрессии (

$$q = \frac{1}{10}$$

)(

$$1 + \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\dots\ $$

)

$$ 1+q+q^2+q^3+\dots\+q^{n-1} = \frac{q^{n-1} - 1}{q-1}$$

и поскольку

$$q^n$$

при очень большых значениях

$$n$$

равно

$$0$$

то сума равна

$$\frac{1}{1 - q}$$

Пусть теперь Ахиллес стал бегать в 10 раз медленнее черепахи. Пока он пробегает расстояние до точки старта черепахи, черепаха уползает на десятеро большее расстояние. Когда Ахиллес добежит до этой точки, черепаха уползет на расстояние, в сто раз большее начального, и т. д. Получаем сумму

$$ 1+10+100+1000+ \dots\ $$

Разумеется, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но тем не менее в формулу

$$ 1+q+q^2+q^3+\dots\+q^{n-1} = \frac{1}{1 - q}$$

подставим значение

$$q = 10$$

и и получим «равенство»

$$ 1+10+100+1000+ \dots\ =\frac{1}{1-10} = -\frac{1}{9}$$

Можно ли придать явно нелепому утверждению «Ахиллес догонит черепаху, пробежав -1/9 метра» какой-то смысл?

[Someone]

Tarsik писал(а):

поскольку

$$q^n$$

при очень большых значениях

$$n$$

равно

$$0$$

Не равно. $\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$.

Tarsik писал(а):

Можно ли придать явно нелепому утверждению «Ахиллес догонит черепаху, пробежав -1/9 метра» какой-то смысл?

Некоторое время тому назад, когда Ахиллес находился от теперешнего его положения на расстоянии, равном $1/9$ теперешнего расстояния между Ахиллесом и черепахой, черепаха его обогнала.

[e2e4]

Что-то я не понимаю, почему вы применяете формулу $\frac{1}{1-q}$, в которую обращается выражение $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$ при $0<q<1$, в случае q = 10??

[Echo-Off]

Думается, если суммировать ряд

$$\sum_{n=0}^{\infty}10^n$$

каким-нибудь методом (типа Рамануджана), то получится как раз $-1/9$

[Хорхе]

Echo-Off писал(а):

Думается, если суммировать ряд

$$\sum_{n=0}^{\infty}10^n$$

каким-нибудь методом (типа Рамануджана), то получится как раз $-1/9$

Бедный, несчастный Эйлер... Он так и не узнал, что тот метод, которым он суммировал этот ряд, назывался методом Рамануджана

[Зангези]

На самом деле первым так суммировать ряды начал Гольдбах, о чём он и сообщил Эйлеру в личной переписке

[e2e4]

Вы шутите или серьезно?
Разве $\sum\limits_{n=0}^{\infty}10^n$ не есть бесконечно большая величина?

[AD]

e2e4 писал(а):

Вы шутите или серьезно?

Можно еще в какой-нибудь-там p-адической метрике посуммировать ... или это то же самое? Они там любят такие ряды суммировать ...

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

Вы шутите или серьезно?
Разве $\sum\limits_{n=0}^{\infty}10^n$ не есть бесконечно большая величина?

Вы правы, с точки зрения классического определения, этот ряд расходится к бесконечности. Просто для таких рядов придумано много неклассических способов придания значений их сумме, вот отсюда все и идет. Почитайте, например, http://lib.mexmat.ru/books/107

[Tarsik]

Someone писал(а):

Некоторое время тому назад, когда Ахиллес находился от теперешнего его положения на расстоянии, равном $1/9$ теперешнего расстояния между Ахиллесом и черепахой, черепаха его обогнала.

А можете объяснить это подробнее? То есть на расстоянии равным

$$\frac{1}{9}$$

черепаха и Ахиллес былы вместе? И после этого черепаха его обогнала?

[Someone]

Ну, попробуйте решить задачу: "Черепаха ползёт в 10 раз быстрее, чем бежит Ахиллес. Какое расстояние пробежит Ахиллес к тому моменту, когда черепаха перегонит его на 1 единицу длины?"

P.S. Меня сильно смущает название Вашей темы. С каких пор Геометрическая Прогрессия стала нищенствовать?

[PAV]

На самом деле все проще можно объяснить. С теми же начальными условиями пусть Ахиллес и черепаха побегут в обратном направлении (т.е. сначала Ахиллес впереди). Тогда через $\frac{1}{9}$ метра черепаха его догонит.

[Tarsik]

Спасибо всем участникам