Насчет преобразований, вообще говоря, научились бы, если бы для каждого уравнения научились находить свое интегральное преобразование, но это невозможно.
Что касается ОДУ вообще, то умеют решать многие, но далеко не все уравнения. Линейные и то не все решаются. Все начинается с того, что далеко не каждое из них можно привести с помощью каких-то преобразований к виду с постоянными коэффициентами, дальше работает метод Фробениуса, но и он не каждое уравнение осилит, если коэффициенты -- трансцендентные функции. Вот начиная отсюда и заканчивая нелинейными уравнениями применяют волшебство: полные дифференциалы, Бернулли, Риккати, интегрирующие множители, хитрые замены, понижение порядка итд. Методов тысячи, и чем больше человек их знает, тем лучше. Насчет классификатора тоже дело пустое, возьмем хотя бы уравнение в полных дифференциалах. Берем трехэтажную функцию в виде полного дифференциала, получаем уравнение. И откуда человек поймет, что надо проверять на полные дифференциалы, когда от производных глаза на лоб лезут?
здесь только компьютер людям в помощь.
