2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 11:47 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Есть дифф. уравнение $$y''=2y^3, \quad y(-1)=1, \quad y'(-1)=1$$

Я нашел частный интеграл $$3y-y^2=x+3$$

Далее мне необходимо сделать проверку, нахожу:

$$(3y-y^2)'=(x+3)'$$

$$3y'-2yy'=1$$

$$y' \cdot (3-2y)=1$$

$$y'=\frac{1}{3-2y}$$

$$y''=\frac{-(3-2y)'}{(3-2y)^2}$$

$$y''=\frac{2y'}{(3-2y)^2}$$

Если в последнее выражение подставить производную, найденную выше, то получится $$y''=\frac{2}{(3-2y)^3}$$

И как-то это не похоже на исходное уравнение...

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 11:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Да все в порядке. Выводы только правильные надо делать. Значит, это не частный интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 11:56 


29/08/11
1759
Otta
Вы имеете ввиду, что решение неверное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 12:06 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Не, а откуда Вы его взяли? Решение, которое при подстановке не дает тождества, видимо, не решение, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 12:15 


29/08/11
1759
Otta
Получил :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Сдайте обратно на базу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 12:34 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Limit79
Вообще такие уравнения решаются понижением порядка заменой $\[y' = p\]$. Ради развлечения приведу решение общего уравнения такого типа
Для уравнения $\[y'' = k{y^n}\]$ получим
$\[p{p_y}' = k{y^n}\]$ Тут переменные отделяются и оно легко интегрируется
$\[p =  \pm \sqrt {\frac{{2k{y^{n + 1}}}}{{n + 1}} + {C_1}} \]$ или $\[p =  \pm \sqrt {2k\ln \left| y \right| + {C_1}} \]$ если $\[n =  - 1\]$
т.к. $\[\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{1}{p}\]$ то имеем
$\[x =  \left\{ \begin{array}{l}
 \pm \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\frac{{2k{y^{n + 1}}}}{{n + 1}} + {C_1}} }} + {C_2},n \ne  - 1} \\
 \pm \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {2k\ln \left| y \right| + {C_1}} }} + {C_2},n =  - 1} 
\end{array} \right.\]$

Вам же стоит остановится после получения решения уравнения первого порядка, найти константу, и затем уже интегрировать дальше, а не пытаться получить ответ из конечной формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка решения ДУ
Сообщение23.12.2014, 12:44 


29/08/11
1759
Ms-dos4
Да я это знаю, просто в самом начале, после $y''=2y^3$ у меня почему-то получилось $p'p=2p^3$ :D

Проверял до этого, но слона-то не приметил, думал в середине где-то ошибка.

Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group