олимпиады ЮРГПУ (НПИ)

[denisart]

Когда-то я выкладывал задачи всероссийской студенческой олимпиады в Новочеркасске. Помню, были тогда заинтересованные.
Вот задачи 2013 и 2014 годов:

23.04.2013
1. Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $[0,1]$ и удовлетворяет условиям: ${f}'(1)<2f(1), {f}''(x)>0, \all x \in [0,1]$. Доказать, что $\int_0^1 f(x)dx>0$.

2. Доказать, что уравнение $x^6-6x-6=0$ имеет не более двух действительных корней.

3. Доказать, что на окружности, центр которой имеет иррациональные координаты, не существует трех различных точек, координаты которых являются рациональными числами.

4. Какова точная верхняя оценка для суммы косинусов двугранных углов произвольного тетраэдра?

5. При каких вещественных $p$ и $q$ сходится последовательность: $x_0=p, x_1=1+qx_0, \dots, x_{n+1}=1+qx_n, \dots$ ? В случае существования найти этот предел.

6. Найдите все пары действительных чисел $x,y$, удовлетворяющих неравенству: $y^2+y^3+\sqrt[4]{y^3-x^2-3xy}\le 5xy$.

7. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет уравнению: $f^3(x)+2f(x)-x=0$. Вычислите интеграл $\int_0^3 f(x)dx$.

16.04.2014

1. Найти отношение: $\frac{1+(e^{-1})^2/3+(e^{-1})^4/5+(e^{-1})^6/7+\dots}{1/2+(e^{-1})^2/4+(e^{-1})^4/6+(e^{-1})^6/8+\dots}$.

2. Решить уравнение: $1+(\int_0^x y(t)dt)^2=y(x)$.

3. Какое самое большое число различных пар $(x,y)$ целых чисел может удовлетворять уравнению: $\prod_{k=0}^n [1-(x-5k-1)^2-y^2][1-(x-5k-3)^2-y^2]=0$?

4. Доказать или опровергнуть утверждение: в сечении некоторой плоскостью поверхности куба может получиться правильный пятиугольник.

5. Изобразить на плоскости $(kOp)$ множество точек $M(k, p)$ таких, что прямая $y=kx$ не пересекает ни одну из парабол семейства: $p^2x^2+y+1=0, p \neq 0$.

6. Известно, что три корня уравнения $x^5+px+q=0$ действительны. Что можно сказать о знаке коэффициента $p$?

7. Доказать, что при любом расположении 7 точек в прямоугольнике $3\times 4$, найдется круг радиуса $6/5$, внутри которого содержится по крайней мере две точки из данных.

[ewert]

denisart в сообщении #855243 писал(а):

2. Доказать, что уравнение $x^6-6x-6=0$ имеет не более двух действительных корней.

Почему не ровно два?

denisart в сообщении #855243 писал(а):

3. Доказать, что на окружности, центр которой имеет иррациональные координаты, не существует трех различных точек, координаты которых являются рациональными числами.

Потому что есть явная формула для центра.

denisart в сообщении #855243 писал(а):

6. Известно, что три корня уравнения $x^5+px+q=0$ действительны. Что можно сказать о знаке коэффициента $p$?

Монотонность.

-- Сб апр 26, 2014 15:53:15 --

denisart в сообщении #855243 писал(а):

7. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет уравнению: $f^3(x)+2f(x)-x=0$. Вычислите интеграл $\int_0^3 f(x)dx$.

$f(0)=0,\ f(3)=1$

denisart в сообщении #855243 писал(а):

5. При каких вещественных $p$ и $q$ сходится последовательность: $x_0=p, x_1=1+qx_0, \dots, x_{n+1}=1+qx_n, \dots$ ? В случае существования найти этот предел.

$x_n=y_n+\frac1{1-q}$

denisart в сообщении #855243 писал(а):

1. Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $[0,1]$ и удовлетворяет условиям: ${f}'(1)<2f(1), {f}''(x)>0, \all x \in [0,1]$. Доказать, что $\int_0^1 f(x)dx>0$.

Лучше всего, конечно, картинкой. Но можно и просто $f(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)+\int\limits_1^xf''(t)\cdot(x-t)\,dt$

-- Сб апр 26, 2014 15:58:44 --

denisart в сообщении #855243 писал(а):

5. Изобразить на плоскости $(kOp)$ множество точек $M(k, p)$ таких, что прямая $y=kx$ не пересекает ни одну из парабол семейства: $p^2x^2+y+1=0, p \neq 0$.

$k=0$, а условие бессмысленно.

[Ktina]

ewert в сообщении #855282 писал(а):

denisart в сообщении #855243 писал(а):

2. Доказать, что уравнение $x^6-6x-6=0$ имеет не более двух действительных корней.

Почему не ровно два?

Опечатка в условии. В свободном коэффициенте вместо 6 следует читать $C$, то есть константа.
Итак,

$$x^6-6x-C=0$$

Производная функции $y=x^6-6x-C$ равна $6x^5-6$, а значит, строго возрастает. Из этого следует, что исходная функция строго убывает до определённого момента, а затем строго возрастает всю оставшуюся жизнь, а это означает, что любая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график нашей функции не более, чем в двух местах, что и требовалось доказать.
Вот ссылка на задачу:
http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/l/LEVC ... rkassk.pdf
(стр. 7, задаача №2)

[hippie]

2013.

denisart в сообщении #855243 писал(а):

4. Какова точная верхняя оценка для суммы косинусов двугранных углов произвольного тетраэдра?

Ответ: 2.

2014.

denisart в сообщении #855243 писал(а):

1. Найти отношение: $\frac{1+(e^{-1})^2/3+(e^{-1})^4/5+(e^{-1})^6/7+\dots}{1/2+(e^{-1})^2/4+(e^{-1})^4/6+(e^{-1})^6/8+\dots}$.

Ответ: $\frac {\ln \frac {e-1}{e+1}}{e \ln (1-e^{-2})}.$

denisart в сообщении #855243 писал(а):

7. Доказать, что при любом расположении 7 точек в прямоугольнике $3\times 4$, найдется круг радиуса $6/5$, внутри которого содержится по крайней мере две точки из данных.

Прямоугольник режется на 6 доминошек. В одной из доминошек лежит не менее 2 точек. Накроем эту доминошку кругом радиуса $\frac 65 \ \left(\, > \sqrt {\frac 54}\right).$

[Ktina]

hippie в сообщении #951041 писал(а):

2013.

denisart в сообщении #855243 писал(а):

4. Какова точная верхняя оценка для суммы косинусов двугранных углов произвольного тетраэдра?

Ответ: 2.

Почему?

[denisart]

Ktina в сообщении #951125 писал(а):

hippie в сообщении #951041 писал(а):

2013.

denisart в сообщении #855243 писал(а):

4. Какова точная верхняя оценка для суммы косинусов двугранных углов произвольного тетраэдра?

Ответ: 2.

Почему?

Рассмотрите сумму векторов к граням тетраэдра.

-- 23.12.2014, 13:49 --

Ktina в сообщении #950987 писал(а):

ewert в сообщении #855282 писал(а):

denisart в сообщении #855243 писал(а):

2. Доказать, что уравнение $x^6-6x-6=0$ имеет не более двух действительных корней.

Почему не ровно два?

Опечатка в условии. В свободном коэффициенте вместо 6 следует читать $C$, то есть константа.
Итак,

$$x^6-6x-C=0$$

Производная функции $y=x^6-6x-C$ равна $6x^5-6$, а значит, строго возрастает. Из этого следует, что исходная функция строго убывает до определённого момента, а затем строго возрастает всю оставшуюся жизнь, а это означает, что любая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график нашей функции не более, чем в двух местах, что и требовалось доказать.
Вот ссылка на задачу:
http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/l/LEVC ... rkassk.pdf
(стр. 7, задаача №2)

(Оффтоп)

Я был на олимпиаде, в задании написано 6. Хотя понятно, что эта шестерка роли не играет.