Оценка одной суммой характеров

[tam12h30]

1.Известно ли какая-нибудь нетривиальная оценка сверху суммы

$$\sum_{M<n\leq M+N}\chi(n)\overline{\chi(n+h)}$$

?
2.Есть какой-нибудь общий способ оценить сверху сумму вида

$$\sum_{N<n_1,n_3\leq 2N}\sum_{\substack{n_1<n_2\leq n_1(1+lH^{-1})\\ n_3<n_4\leq n_3(1+lH^{-1})}}\frac{\chi(n_1)\overline{\chi(n_2)}\overline{\chi(n_3)}\chi(n_4)}{\sqrt{n_1n_2n_3n_4}}\cdot$$

$$\cdot\exp{\left(-\frac{H}{2}\log{\frac{n_2}{n_1}}\right)^{2}}\exp{\left(-\frac{H}{2}\log{\frac{n_4}{n_3}}\right)^{2}}\exp{\left(-\frac{X}{2}\log{\frac{n_2n_3}{n_1n_4}}\right)^{2}}$$

[ex-math]

1. А если $n$ пробегает полную систему вычетов по модулю $k$ (модуль характера), знаете, чему эта сумма равна? Промежуток суммирования можно разбить на полные системы. Если он короткий -- попробовать "растянуть" до полной.
2. Похоже на суммы, которые возникают в теории дзета-функции при изучении нулей на критической прямой. Посмотрите соответствующую главу книги Воронин, Карацуба "Дзета-функция Римана", может какие идеи и возникнут. Так-то от корней можно с помощью преобразования Абеля избавиться. Потом замените $n_2=n_1+h$, $n_4=n_3+h$, попробуйте логарифмы приблизить линейными функциями и получатся суммы, похожие на п.1.

[tam12h30]

Спасибо!
1. Я знаю только одну нетривиальную оценку когда модулем характера $\chi(n)$ является простое число $p$, $h$ не сравнимо с $0$ по модулю $p$ и суммирование идет по полной системе вычетов.

$$\sum_{x mod p}\chi(x)\overline{\chi(x+h)}\ll \sqrt{p}$$

2. Вы правильно заметили. Эта сумма отличается от суммы, про которую вы говорили, только характеры. Сможете подробнее объяснить как избавиться от характеров преобразованием Абеля.

[ex-math]

1. Эта сумма просто равна -1. Доказывают, переходя к суммированию по обратным к $x$ по модулю $p$. Не вижу, почему бы этому не сработать и в случае составного модуля.
2. Преобразованием Абеля избавиться можно не от характеров, а от корней, как и от любых других гладких монотонных множителей. Это стандартная техника, можно посмотреть в той же книге на более простых примерах. Здесь писать будет очень долго.

[ex-math]

1. Да, в случае составного модуля прием не сработает -- на самом последнем шаге. Там получается сумма $\chi(1+m)$, где $m$ пробегает приведенную систему вычетов. Так вот в случае простого модуля приведенная система вычетов устроена просто -- это почти полная система и сдвиг на единицу легко учесть, для составного модуля так уже не получится. И все-таки у меня стойкое ощущение, что эти суммы должны несложно и хорошо оцениваться.

[tam12h30]

Я нашел в книге Иванца Аналитическая теория чисел такая формула

$$\frac{1}{m}\sum_{c \pmod m}\chi(ac+b)=\begin{cases}\chi(b)\text{ если $m|a$}\\0 \text{ если $m \nmid a$}\end{cases}$$

. Для $(k,h)=1$ получается сумма п.1 равна $0$. Правильно ли я понял?

[ex-math]

Нет, здесь $c$ пробегает полную систему вычетов.

[tam12h30]

А верно ли следующее равенство?

$$\sum_{a,b\pmod k}\bar{\chi}(a)\chi(b)=0$$

[ex-math]

Это просто квадрат модуля суммы характеров по полной системе, так что верно.