2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многочлен и его производные
Сообщение29.10.2007, 00:37 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Существуют ли многочлены степени $n$, кроме $a(x-b)^n$, имеющие общий корень c каждой своей производной вплоть до порядка $n-1$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2007, 13:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
нет. Берёте n-1 производную и последовательно интегрируете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2007, 20:50 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Rust:
Простите за тупость, не понял. Не могли бы пояснить чуть подробней?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 16:59 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Не уверен, что многочлены над произвольным полем (или даже коммутативным кольцом) можно интегрировать. Между тем понятие производной определяется для многочленов (от одной переменной) над произвольным коммутативным кольцом, а не только для многочленов с коэффициентами из $\mathbb{R}$.

Возьмем многочлен $f(x) = x^3 - x^2$ над полем характеристики $2$. Тогда $f'(x) = x^2$ и $f''(x) = 0$. Многочлены $f(x)$, $f'(x)$ и $f''(x)$ имеют общий корень $0$, однако многочлен $f(x) = x^2(x-1)$ имеет 2 различных корня и, значит, не представим в виде $a(x-b)^3$ (последний многочлен имеет единственный корень $b$). Значит, в произвольном случае ответ на вопрос автора темы положителен.

Однако если коэффициенты многочлена берутся из поля характеристики $0$, то ответ, похоже, действительно будет отрицательным. Это можно доказать индукцией по $n$. Действительно, если $f(x)$ --- многочлен степени $n+1$ и $f'(x) = a(x-b)^n$, то многочлен $f(x) - a(x-b)^{n+1}/(n+1)$ имеет нулевую производную, так что сам является многочленом степени $\leqslant 0$. Значит, $f(x) = c(x-b)^{n+1} + d$ для $c = a/(n+1)$ и некоторого элемента поля $d$. Причем $b$ может быть корнем многочлена $f(x)$ тогда и только тогда, когда $d=0$. Многочлены над полем характеристики $0$ действительно "интегрируются" (то есть восстанавливаются по своей производной с точностью до свободного члена).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2008, 09:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Профессор Снэйп писал(а):
Однако если коэффициенты многочлена берутся из поля характеристики $0$, то ответ, похоже, действительно будет отрицательным. Это можно доказать индукцией по $n$. Действительно, если $f(x)$ --- многочлен степени $n+1$ и $f'(x) = a(x-b)^n$, то ...

Почему $f'(x) = a(x-b)^n$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2008, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
TOTAL писал(а):
Почему $f'(x) = a(x-b)^n$ ?

Мне тоже интересно, при чем тут индукция? Вроде никто не говорил, что у первой производной тоже есть общий корень с каждой следующей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2008, 10:20 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Да вроде правда не при чём. Поспешил вслед за Рустом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group