Сжимающие отображения на окружности

[AD]

Существуют ли нетривиальные сжимающие отображения окружности в себя?

Метрика на окружности - длина меньшей дуги. Тривиальными считаются отображения всей окружности в одну точку. "Сжимающие отображения" - это которые из теоремы Пикара о сжимающих отображениях.

Тут нужно какое-то остроумное рассуждение, да?

Если таких не бывает, то, я так понимаю, выкинув из окружности одну точку, получим неполное пространство, в котором все равно верна теорема Пикара

[Someone]

Сжимающих отображений окружности в себя много. Всякое сжимающее отображение окружности в себя есть отображение на дугу, меньшую полуокружности.

[AD]

А! сплющить же можно окружность, точно! А я все пытаюсь расцеплять и съёживать, а потом не понимаю, что с точкой расцепления делать - в какую сторону ее пускать ...

Извините за беспокойство.