Определить группу симметрий

[Mega31]

Добрый день.Помогите пожалуйста решить:
Уравнение ББМ $u_{t} + u_{x} +uu_{x} - u_{xxt} = 0$ возникает как модельное уравнение для однонаправленного распространения длинных волн на мелкой воде.
а)Какова группа симметрий этого уравнения?
b)Найдите решения инвариантные относительно группы,соответствующие различным однопараметрическим подгруппам, которые вы нашли в п.(а)
с)Составить таблицу коммутаторов.(Выявить структура алгебры Ли)
d)Есть ли среди инвариантных решений периодические решения?

Начал решать так:
$v = \xi\partial_{x} + \tau\partial_{t} + \varphi\partial_{u}$
$\varphi^{t} +\varphi^{x} + u\varphi^{x} +u_{x}\varphi - \varphi^{xxt}=0$
$\varphi^{t}=\varphi_{t} - \xi_{t} u_{x} + (\varphi_{u} - \tau_{t})u_{t}- \xi_{u} u_{x} u_{t}-\tau_{u}u_{t} ^2$
$\varphi^{x}=\varphi_{x} + (\varphi_{u} - \xi_{x})u_{x} -\tau_{x}u_{t} - xi_{u}u_{x} ^2 - \tau_{u}u_{x}u_{t}
Но как найти $\varphi^{xxt}$ и что делать дальше,подскажите пожалуйста.

[пианист]

$\varphi^{xxt}=D_x(\varphi^{xt})-u_{xtt}D_x(\tau)-u_{xxt}D_x(\xi)$,
а $\varphi^{xt}$, соответственно,
$\varphi^{xt}=D_x(\varphi^{t})-u_{tt}D_x(\tau)-u_{xt}D_x(\xi)$.
Можно в другом порядке, результат не изменится.
Дальше в полученное уравнение подставьте $u_{xxt}$ из уравнения, а потом расщепите по производным ($\xi$, $\tau$, $\varphi$ от производных не зависят). Получится система линейных учп, сильно переопределенная, ее несложно решить, последовательно выписывая новые (дифференциальные) следствия.
Вообще, метода достаточно подробно описана в книжках Ибрагимова, Овсянникова, Олвера, посмотрите.
Кстати, если уравнение известное, группа наверняка где-то уже выписана, покопайтесь в журналах.