Уравнение Гамильтона-Якоби, разделение переменных

[AlexTheorMech]

Доброго времени суток!
Есть такой вопрос по теоретической механике.
Задана функция Гамильтона для частицы, чтобы найти уравнение движения, решаю уравнение Гамильтона-Якоби в сферических координатах, но проблема в том что там возникает сочетание(сумма)

$$p_{\varphi}^2+\frac{p_{\theta}^2}{\sin_{\theta}^2}$$

импульсов по двум координатам, в нескольких местах, причём сочетание одно и то же. В методе разделения переменных это сочетание можно заменить на константу. Вопрос почему так можно сделать?

[Негамильтон]

Чтобы хоть какие-то попытки объяснения предпринять, надо бы ощутимо больше информации.
Где-нибудь это вот "в методе разделения переменных..." посмотреть можно? Как и само уравнение, впрочем.

Имхо, вам сильно повезет встретить тут сотоварища по гамильтоновой механике, скажем так

[Red_Herring]

Информации абсолютно недостаточно. Выпишите Гамильтониан

[AlexTheorMech]

Гамильтониан такой:
$H=\sqrt{1+p^2}+\alpha\frac{[r\times p]^2}{2}$

[Red_Herring]

AlexTheorMech в сообщении #950289 писал(а):

Гамильтониан такой:
$H=\sqrt{1+\mathbf{p}^2}+\frac{\alpha}{2} [\mathbf{r}\times \mathbf{p}]^2}$

Я переписал его в более удобоваримой форме.

И вот теперь мы видим, что Гамильтониан инвариантен относительно некоторых движений. Определите каких и какой закон сохранения из этого следует. И что следует из этого закона сохранения.

[AlexTheorMech]

То есть закон сохранения и даст мне постоянство суммы тех импульсов, правильно я понимаю?

[Red_Herring]

AlexTheorMech в сообщении #950304 писал(а):

То есть закон сохранения и даст мне постоянство суммы тех импульсов, правильно я понимаю?

Я не знаю, что Вы понимаете (я не ясновидящий и не телепат). Ответьте лучше на вопросы, и я напишу, правильно или нет

[AlexTheorMech]

Гамильтониан симметричен относительно вращения. Закон сохранения момента импульса?

[Red_Herring]

AlexTheorMech в сообщении #950363 писал(а):

Гамильтониан симметричен относительно вращения. Закон сохранения момента импульса?

Да, конечно. И что из этого следует?

[AlexTheorMech]

$\sqrt{1+p^2}=const$, $[r\times p] =const $

[Red_Herring]

Что означает второе соотношение? Напомню, что $\mathbf{r}$ и $\mathbf{p}$ векторы, и угловой момент $\mathbf{M}$ тоже, причем этот вектор ортогонален первым двум. Что следует?

[AlexTheorMech]

$[r \times p]^2=const $

[Red_Herring]

Да, но мы хотим большего. Прочтите, что я написал и сделайте вывод:
Напомню, что $\mathbf{r}$ и $\mathbf{p}$ векторы, и угловой момент $\mathbf{M}$ тоже, причем этот вектор ортогонален первым двум. Что следует из того, что $\mathbf{M}$ постоянен?
(тут два вывода)

[AlexTheorMech]

Движение происходит в одной плоскости, причём ортогональной вектору момента, модуль момента постоянен.

[Red_Herring]

Замечательно! Введем в этой плоскости полярные координаты $r$ и $\phi$ (теперь $r$ уже нежирное). Как выражаются $\mathbf{p}^2$ и $M_z$ (компонента $\mathbf{M}$ перпендикулярная этой плоскости, через $p_r,p_\phi,r$?