При каких n возможно линейно выразить детерминант матрицы?

[Eli]

У меня сформировалась проблема, которая кажется любопытной.

Нужно выяснить, при каких n возможно выразить детерминант матрицы n-го ранга
через произведение исходной матрицы на n-1 ее линейных инволюционных образов.
(Или, иначе, выразить присоединенную матрицу через произведение n-1 линейных
образов исходной матрицы).
Т. е. допустим при n=3

$$ Det(A) = A\cdot C(A)\cdot C'(A)\,\cdot I , $$

или

$$ Det(A) = A\cdot Z[C(A)\cdot C'(A)]\,\cdot I , $$

где $ C, C',Z $ -- различные линейные инволюции, I -- единичная матрица.

Под линейной инволюцией C(A) матрицы A будем понимать следующее
невырожденное ее преобразование:
1) $ C(\lambda A + \mu B) = \lambda C(A) + \mu C(B) \quad \quad (\lambda, \mu $ -- вещ. числа).
2) $ C(C(A)) = A. $
Частные примеры: транспонирование матрицы, ее эрмитово сопряжение, перестановка
строк или столбцов, перестановка блоков.

Уточнения:
a) Понятие достаточно широкое. Не предполагается его сужать, требуя например
(по аналогии с эрмитовым сопряжением или транспонированием), чтобы преобразование
C было антиавтоморфизмом или автоморфизмом. Т. е. не требуется:

$$ C(A\cdot B) = C(B)\cdot C(A) \mbox{~~~или~~~} C(A\cdot B) = C(A)\cdot C(B) $$

Более того, линейная инволюция произведения матриц может вообще не выражаться
через произведения каких-либо линейных инволюций матриц:

$$ C(A\cdot B) \neq C'(A)\cdot C''(B), \quad C(A\cdot B) \neq C'(B)\cdot C''(A) $$

Такие линейные инволюции назовем неприводимыми.
В связи с этим возникает важное уточнение:
b) В выражении присоединенной матрицы могут использоваться неприводимые
линейные инволюции. Т.е. допускаются не только линейные инволюционные образы
исходной матрицы A, но и образы произведений $ C[C'(A)\cdot C''(A)].$
(См. ниже пример для n=4).

Что известно.
-- Проблема тривиально решается для n=2.

$$ A\cdot \tilde A=Det(A)\cdot I , \quad \tilde A - \mbox{присоединенная матрица} $$

Т.е.

$$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array}\right) = (ad-bc) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0& 1 \\ \end{array}\right) $$

-- Мне известно 6 решений этой проблемы для n=4 с использованием неприводимых
линейных инволюций Z:

$$ Det(A) = A\cdot C(A) * Z[A\cdot C(A)] $$

(C -- инволюционный антиавтоморфизм; инволюции C и Z кроме того обладают
свойством $ C(I)=Z(I)=I). $

Что составляет суть гипотезы.
Похоже, проблема не решается для произвольных матриц ранга выше 4.
(Т.е. детерминант линейно невыразим).
Есть некоторые аналогии с теорией Галуа, но нет строгого доказательства.

Что неизвестно:
ситуация с n=3, которая выглядит вполне обозримой, но весьма нетривиальна.

Что еще неизвестно:
Может ли быть решена задача линейного выражения детерминанта для матрицы
произвольного ранга n, если обобщить требование инволюции на требование цикличности:
вместо $\mbox{~~~}C(C(A)) = A \quad >> \quad C(C(C(...С(A)...) = A ? $

[Eli]

Эта проблема, хотя и сформулирована на языке матриц, имеет отношение к теории
гиперкомплексных систем (не только ассоциативных), и в особенности
к теории сопряжений на них. Речь идет о том, что не во всех гиперкомплексных алгебрах
норма элемента (N-степени) разрешима средствами самой алгебры
(умножение + линейные инволюции) -- даже если алгебра ассоциативна и норма мультипликативна
(норма произведения элементоа алгебры равна произведению их норм) .
Мне представляется, что для произвольной (ассоциативной) алгебры норма разрешима,
только если алгебра имеет степень не выше 4 (есть, по-видимому, некоторая связь с теорией Галуа).

Отмечу, что в гиперкомплексных алгебрах "зашиты" множество интереснейших
проблем геометрического, топологического и информационного (алгоритмического)
характера (часть из них можно найти, например, в энциклопедической статье Джона Байза "Октонионы").
Данная проблема, хотя и может показаться узкоформальной, также на мой взгляд имеет
дальние связи со другими разделами математики.

См. также еще одну мою проблему:
Существует ли универсальный алгоритм прямой проверки гиперкомплексных тождеств?