Развить в ряд Тейлора функцию

[chesas]

Здравствуйте.
Мне необходимо развить в ряд Тейлора функцию $\ln{(1-x-6x^2)},x_0=0$.
Похожее разложение имеет вид
$\ln{(1+\alpha)}=\alpha-\dfrac{\alpha^2}{2}+\dfrac{\alpha^3}{3}+\ldots+(-1)^{n-1}\dfrac{\alpha^n}{n}+\ldots$
Представляю логарифм в виде суммы двух более простых
$\ln{(1-x-6x^2)}=\ln{(1-3x)}+\ln{(1+2x)}$.
Тогда
$\ln{(1-x-6x^2)}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\dfrac{{(-3x)}^n}{n}+\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\dfrac{{(2x)}^n}{n}=\\\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}((-3)^n+2^n)$
Дальше, необходимо определить область сходимости полученного ряда. Пытался использовать признак Даламбера, но...
Убираем член, определяющий знакочередование и имеем
$\lim\limits_{n\to\infty}\mid\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)}\mid=\mid{x}\mid\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n+1}\dfrac{(-3)^{n+1}+2^{n+1}}{(-3)^n+2^n}\right)=\dfrac{\infty}{\infty}$
А дальше не знаю, что делать.

[ИСН]

Чему равно $2^{20}$?
Чему равно $3^{20}$?

[iifat]

Если уж вы нашли разложение логарифма — неужно где-нить там, в закутке не валяется радиус сходимости? Какое странное место.

[chesas]

ИСН в сообщении #949728 писал(а):

Чему равно $2^{20}$?
Чему равно $3^{20}$?

Почему Вы, берёте чётную степень, а если в нечётной. И ведь не три а минус три?

[ИСН]

Другими словами: при достаточно больших $n$ какое слагаемое будет определять поведение числителя (а также и знаменателя)?

[Brukvalub]

А как это : РАЗВИТЬ функцию в ряд? Вот я умею развить идею, развить мысль, но развить функцию? Это как захомутать матрицу?

[chesas]

По первому множителю тут понятно
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{n}{n}}{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}^{\to0}}=1$
А вот по второму не всё так очевидно.

Brukvalub в сообщении #949795 писал(а):

А как это : РАЗВИТЬ функцию в ряд? Вот я умею развить идею, развить мысль, но развить функцию? Это как захомутать матрицу?

Писал прямо из условия контрольной работы. Сам не очень понимаю, но именно такое выражение встречал неоднократно...

[ИСН]

ИСН в сообщении #949728 писал(а):

Чему равно $2^{20}$?
Чему равно $3^{20}$?

ИСН в сообщении #949785 писал(а):

какое слагаемое будет определять поведение

[chesas]

Разве, что так.
Если представить $(-3)=(-1)(3)$,
тогда
$(-3)^{n+1}=(-1)^{n+1}(3)^{n+1}$ и $(-3)^{n}=(-1)^{n}(3)^{n}$
и
$\dfrac{(-3)^{n+1}+2^{n+1}}{(-3)^n+2^n}=\dfrac{(-1)^{n+1}3^{n+1}+2^{n+1}}{(-1)^{n}3^{n}+2^n}$
Так вот теперь разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, пусть $3^{n+1}$
$\dfrac{(-1)^{n+1}\dfrac{3^{n+1}}{3^{n+1}}+\dfrac{2^{n+1}}{3^{n+1}}}{(-1)^{n}\dfrac{3^{n}}{3^{n+1}}+\dfrac{2^n}{3^{n+1}}}=\dfrac{(-1)^{n+1}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{(-1)^{n}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}=\\\dfrac{(-1)^{n+1}+\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)^{\to0}}{(-1)^{n}\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right)^{\to0}}=-3$

[ИСН]

Ну вот видите, как всё просто. Так какой, значит, радиус-то получился?

[Brukvalub]

ИСН в сообщении #949818 писал(а):

Ну вот видите, как всё просто. Так какой, значит, радиус-то получился?

Обычный радиус, $-3$ , такой чаще всего и выходит.

[chesas]

Ряд сходится при
$-3\mid{x}\mid<1$
$\mid{x}\mid>-\dfrac{1}{3}$
т.е. ряд сходится, при любом $x$ ?
А радиуса никакого-то и нет...
И область сходимости — вся числовая ось от $-\infty$ до $+\infty$

[ИСН]

Вот ведь засада, а?
Давайте вернёмся к чему-нибудь простому. Смотрите, вот функция $1\over1+3x$. Какой у неё ряд? Что произойдёт, если Вы тем же самым методом (это важно) определите его радиус сходимости?

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

- Я нашла радиус сходимости, но он почему-то отрицательный. Во что бы мне его подставить?
- Гусары, молчать!

[provincialka]

chesas, вы не верьте Brukvalub, он шутит.

[chesas]

Прошу прощения, с набором формул у меня ещё не всё хорошо — зачастую, занимает гораздо больше времени, нежели само решение.
Я так понял, что в начале необходимо разложить данную функцию в ряд Тейлора, не так ли?

provincialka в сообщении #949851 писал(а):

chesas, вы не верьте Brukvalub, он шутит.

насчёт "троих" я понял, просто сейчас не до шуток.