Теорема Брауэра

[Rich]

Есть диск из которого выброшена половинка (т.е. наполовину круг,наполовину окружность).Нужно проверить верна ли теорема Брауэра для него. Что использовать степень отображения, гомотопий или что-то другое ?

[Dan B-Yallay]

Теорема Брауэра формулируется для отображений, а не геометрических фигур.
Сформулируйте задачу нормально/полностью.

[g______d]

Rich в сообщении #949653 писал(а):

Есть диск из которого выброшена половинка (т.е. наполовину круг,наполовину окружность).

Это как? Без границы, что ли? В смысле, из диска выброшена внутренность полукруга?

Dan B-Yallay в сообщении #949740 писал(а):

Теорема Брауэра формулируется для отображений, а не геометрических фигур.

При отображении в формулировке теоремы стоит квантор "для любого". Т. е. вопрос ТС, по-видимому, в том, любое ли непрерывное отображение указанного тела в себя имеет неподвижную точку.

Подсказка: Если я правильно понимаю указанное тело, то оно гомотопически эквивалентно окружности. Верна ли теорема Брауэра для окружности? Можно ли как-то этим воспользоваться?

[Evgenjy]

Обязательное существование неподвижной точки при любом непрерывном преобразовании полученной фигуры зависит от того, выбрасываем ли мы вместе с полуокружностью соответствующий диаметр, или его точки принадлежат фигуре.

[Rich]

g______d
Вы правильно поняли как устроено множество.Для окружности теорема Брауэра, очевидно не верна,достаточно, чтобы наше непрерывное отображение было поворотом окружности на некоторый угол меньше $2\pi$.

[мат-ламер]

Rich в сообщении #949653 писал(а):

(т.е. наполовину круг,наполовину окружность).

Пояснили бы поподробнее для тех у кого слабовато с геометрическким воображением.

[grizzly]

мат-ламер в сообщении #950039 писал(а):

Пояснили бы поподробнее для тех у кого слабовато с геометрическким воображением.

Да-да, и ещё, пожалуйста, для тех, кто может вообразить больше двух вариантов интерпретаций.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #950039 писал(а):

Rich в сообщении #949653 писал(а):

(т.е. наполовину круг,наполовину окружность).

Пояснили бы поподробнее для тех у кого слабовато с геометрическким воображением.

А, дошло, что это кольцо.

[Evgenjy]

Совершенно неважно, что из себя представляет фигура, которую выбросили из внутренности круга, это может быть даже одна точка. Обязательное существование неподвижной точки при любом непрерывном преобразовании перестает действовать.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #950048 писал(а):

А, дошло, что это кольцо.

Извиняюсь, не совсем кольцо. (Поскольку линия не гомеоморфна двумерной фигуре).

[Rich]

А следует ли из гомотопности полученной фигуры окружности, невыполнение теоремы Брауэра?

[g______d]

Rich в сообщении #950105 писал(а):

А следует ли из гомотопности полученной фигуры окружности, невыполнение теоремы Брауэра?

В общем случае не знаю, а в этом да. Представим наше тело как окружность, часть которой сделана толстой (дуга умножена декартово на $[0,1]$). Или, что то же самое, возьмём кольцо $1\le |z|\le 2$ и выкинем "толстую" часть в некотором диапазоне углов.

Отображение устроено так: возьмем поворот кольца на ненулевой угол, а потом спроецируем результат на внутреннюю оуружность.

[grizzly]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #950117 писал(а):

Представим наше тело как окружность, часть которой сделана толстой

После третьего прочтения (с нарастанием концентрации внимания) всё стало на свои места. Иногда лишнее воображение вредит :)

[Rich]

Данная фигура НЕ кольцо изначально, если явно формулой задать, то это будет $|z|=1$ при $0<Rez$, а иначе $|z| \leq 1$.g______d,
Вы тут гомеоморфностью пользовались, когда описали фигуру в ответе?

[g______d]

Rich в сообщении #950285 писал(а):

Вы тут гомеоморфностью пользовались, когда описали фигуру в ответе?

Да. Ваша фигура гомеоморфна такой: $1\le |z|\le 2$ при $\Re z\ge 0$ и $|z|=1$ при $\Re z<0$.

Отображение -- поворот, потом проекция на единичную окружность.