Маятник Обербека

[fronnya]

Делал лабораторную с этим маятником. Там на рисунке под 12 и 12' я обозначил шкивы- на один из них намотана нить (можно снять нить с одного шкива и прицепить к другому шкиву другого радиуса). Так вот мои расчеты момента инерции этого маятника показали, что на какой бы шкив ни была бы намотана нить, все одно- момент инерции один и тот же. Неплохо бы теоретически это подкрепить, доказать. Идей нет. На вращательную динамику мы мало успели порешать (и лично я мало успел). Подскажите пожалуйста, с чего начать?
Я вот пробовал начать с того, что нужно написать момент вынуждающей силы (силы натяжения нити):

$$ma=mg-T$$

$$T=m(g-a)$$

$$M=mR_0(g-a)$$

Далее основное уравнение динамики вращательного движения

$$mR_0(g-a)=I\frac{a}{R_0}$$

$$I=mg\frac{R_0^2}{a}-1$$

Если верить этим моим выкладкам, то нужно показать как- то, что $\frac{R_0^2}{a}=\operatorname{const}$, а вот как..

[Ms-dos4]

Во первых очепятка, $\[I = m{R^2}(\frac{g}{a} - 1)\]$.
Во вторых, момент инерции маятника зависит от радиуса шкива. Вопрос в том, насколько сильно. Вы погрешности учли? Может там они такие, что перекрывают совпадение. Так же можно взять и сосчитать, какую долю вносит момент инерции шкива в полный момент инерции маятника (шкив+стержни+грузы), если знать геометрические данные системы и массы грузов (их скорее всего можно считать точечными).

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #948911 писал(а):

Во первых очепятка, $\[I = m{R^2}(\frac{g}{a} - 1)\]$.
Во вторых, момент инерции маятника зависит от радиуса шкива. Вопрос в том, насколько сильно. Вы погрешности учли? Может там они такие, что перекрывают совпадение. Так же можно взять и сосчитать, какую долю вносит момент инерции шкива в полный момент инерции маятника (шкив+стержни+грузы), если знать геометрические данные системы и массы грузов (их скорее всего можно считать точечными).

То есть, в теории все таки должны получиться разные моменты инерции?

-- 18.12.2014, 18:31 --

То, что у меня и там, и там совпали моменты инерции- случайность ?

[Ms-dos4]

fronnya
1)Разные конечно. Вопрос - на сколько разные. Возможно, что разница маленькая и поэтому может быть "задавлена" погрешностью
2)Вы сделали то, что я сказал? Каковы погрешности измерения момента инерции?

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #948920 писал(а):

fronnya
1)Разные конечно. Вопрос - на сколько разные. Возможно, что разница маленькая и поэтому может быть "задавлена" погрешностью
2)Вы сделали то, что я сказал? Каковы погрешности измерения момента инерции?

2) Цель моей работы как раз и была в том, чтобы посчитать момент инерции маятника. В общем, если грузик побольше прикрепить, то при доверительной вероятности 95% получается относительная погрешность в 3%

-- 18.12.2014, 18:54 --

fronnya в сообщении #948927 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #948920 писал(а):

fronnya
1)Разные конечно. Вопрос - на сколько разные. Возможно, что разница маленькая и поэтому может быть "задавлена" погрешностью
2)Вы сделали то, что я сказал? Каковы погрешности измерения момента инерции?

2) Цель моей работы как раз и была в том, чтобы посчитать момент инерции маятника. В общем, если грузик побольше прикрепить, то при доверительной вероятности 95% получается относительная погрешность в 3%

Аааа, нужно теперь посчитать погрешность на другом шкиве.

-- 18.12.2014, 19:25 --

Ms-dos4 в сообщении #948920 писал(а):

fronnya

2)Вы сделали то, что я сказал? Каковы погрешности измерения момента инерции?

Итак, для первого шкива:

$$I=(33\pm1)\cdot 10^{-4} kg\cdot m^2, \varepsilon=3\%$$

Для второго:

$$I=(35\pm 2)\cdot 10^{-4} kg\cdot m^2, \varepsilon=6\%$$

-- 18.12.2014, 19:27 --

Довольно близко, как мне кажется, но как это пояснить ?

[Ms-dos4]

fronnya
Вы возьмите формулу $\[I = m{R^2}(\frac{g}{a} - 1)\]$, и по формуле $\[\Delta I = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{(\frac{{\partial I}}{{\partial {\alpha _k}}}\Delta {\alpha _k})}^2}} } \]$ посчитайте приборную погрешность ($\[{{\alpha _k}}\]$ - параметры). Туда войдёт $\[\Delta a\]$, которую вы тоже должны рассчитать по такой же формуле (через время и путь видимо). Далее посчитайте случайные погрешности при вашей дов. вероятности (вы как я понимаю уже их посчитали). Сложите приборную и случайную. И теперь скажите, у вас погрешность больше, чем получилось различие по моментам инерции?
P.S.Ага, вы дописали сообщение. А вы таким образом считали?

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #948951 писал(а):

fronnya
P.S.Ага, вы дописали сообщение. А вы таким образом считали?

Момент инерции вычисляется по формуле

$$I=mR_0^2\left(\frac{gt^2}{2h}-1\right)$$

посчитал абсолютные погрешности прямых измерений $h$ и $t$ и абсолютную погрешность косвенных измерений $R_0$ (через абсолютную погрешность прямых измерений диаметра). Погрешности косвенных измерений считал по той формуле, что вы привели выше (с чп), а прямые измерения вот так:

$$\Delta x=\sqrt{\Delta x_{inst}^2+\Delta x_{rounding}^2+\Delta x_{ran}^2}$$

$\Delta x_{inst}=\frac{2}{3}\delta, \Delta x_{rounding}=0.95\cdot\frac{h}{2}$, где $h$- цена деления. Первые две погрешности- это приборная и погрешность округления, а третья- случайная, там большущая формула с коэффициентом Стьюдента. Лень сюда писать.

[Ms-dos4]

Да, я понял (только почему $\[\Delta {x_{inst}} = \frac{2}{3}\delta \]$ ?) Но это не особо важно. В общем то смотрите, у вас первый момент инерции лежит в интервале $\[[32,34]\]$, а второй в интервале $\[[33,37]\]$, т.е. они могут как совпадать, так и не совпадать. Причём несовпадение вероятнее. Впрочем осталось одно - вы знаете геометрические параметры установки - т.е. длину и материал стержней (или их массу), массу грузов и расстояние до них, и массу шкива (или его геом. параметры и плотность). Так можно теоретически посчитать, какую долю он составляет в полном моменте инерции. Мне например кажется, что основу вносят именно грузы и стержни, а не сам шкив, и тогда ваши результаты вполне понятны.

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #948973 писал(а):

Да, я понял (только почему $\[\Delta {x_{inst}} = \frac{2}{3}\delta \]$ ?) Но это не особо важно. В общем то смотрите, у вас первый момент инерции лежит в интервале $\[[32,34]\]$, а второй в интервале $\[[33,37]\]$, т.е. они могут как совпадать, так и не совпадать. Причём несовпадение вероятнее. Впрочем осталось одно - вы знаете геометрические параметры установки - т.е. длину и материал стержней (или их массу), массу грузов и расстояние до них, и массу шкива (или его геом. параметры и плотность). Так можно теоретически посчитать, какую долю он составляет в полном моменте инерции. Мне например кажется, что основу вносят именно грузы и стержни, а не сам шкив, и тогда ваши результаты вполне понятны.

Хотя да, вы, конечно, правы, они в большинстве случаев не совпадут. Массу стержней не знаю, длину тоже, ничего об установке не знаю, поэтому вклад их момента инерции проверить не представляется возможным..