Циклическая группа

[SlayZar]

Требуется перечислить в циклической группе порядка $240$
а) все элементы удовлетворяющие условию $x^{16}=1$ и
б) все элементы порядка 16


В пункте а)
Так как у нас циклическая группа порядка $240$, то по определению имеем:
Порядок группы - наименьшее натуральное число n , для которого $x^n=e \Rightarrow x^{240}=e=1$

Тогда $x^{16}=1$ противоречит определению порядка $\Rightarrow x=0$ mod $240$,
Значит $x=240 n$, где $n \in N$
Подскажите, пожалуйста, правильное ли это решение?

А в пункте б)
получается, что $x^{16}=x^{256}= \cdots = x^{240n+16}$
Но как тогда найти эти элементы?

[provincialka]

SlayZar в сообщении #948793 писал(а):

Тогда $x^{16}=1$ противоречит определению порядка

Почему противоречит? А, понятно! Вы вместо определения порядка группы указали определение порядка элемента. Конечно, один элемент два порядка иметь не может.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #948796 писал(а):

SlayZar в сообщении #948793 писал(а):

Тогда $x^{16}=1$ противоречит определению порядка

Почему противоречит?

Ну ведь по определению порядка $n=240$ это наименьшее число для которого $x^n=1$
А $16<240$
Или я неправильно понимаю это определение?

[provincialka]

SlayZar в сообщении #948797 писал(а):

Ну ведь по определению порядка $n=240$

Порядка чего? Элемента $x$ или всей группы? В группе ведь есть разные элементы. Вообще говоря, с разными порядками.

[ИСН]

Порядок группы и порядок элемента - это два разных понятия, даже не однофамильцы.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #948799 писал(а):

SlayZar в сообщении #948797 писал(а):

Ну ведь по определению порядка $n=240$

Порядка чего? Элемента $x$ или всей группы? В группе ведь есть разные элементы. Вообще говоря, с разными порядками.

Да, действительно, в моём определении речь идёт о порядке элемента $x$, а не о порядке группы...
А с помощью чего тогда нужно решать?

[ИСН]

C помощью понимания смысла слов, больше ничего не нужно.

[provincialka]

SlayZar в сообщении #948801 писал(а):

А с помощью чего тогда нужно решать?

Ну как сказать. С помощью здравого смысла. А еще можно попробовать вместо 240 и 16 взять, например, 6 и 3. Можете выписать циклическую группу 6го порядка?

Мы с ИСН мыслим параллельно

[SlayZar]

А. вроде бы понял, то есть если на примере 6

Пусть $X=<x>=\{e,x,x^2,x^3,x^4,x^5\}$

Тогда $(x^k)^3=1 \Rightarrow 3k \mod 6 =0 \Rightarrow k \mod 2 =0 \Rightarrow k=0, 2, 4 $, то есть элементы порядка $3$ это $e, x^2, x^4$
Так?

[provincialka]

Для начала хорошо. Теперь ищите элементы, в основной задаче.

Кстати, когда будете решать п. б) лучше в примере вместо 6 взять 12. Догадались, почему?

[SlayZar]

provincialka в сообщении #948810 писал(а):

Для начала хорошо. Теперь ищите элементы, в основной задаче.

Пусть $X=<x>=\{e,x,x^2,x^3, \cdots , x^{239}\}$

Тогда $(x^k)^{16}=1 \Rightarrow 16k \mod 240 =0 \Rightarrow k \mod 15 =0 \Rightarrow k=0, 15, 30, 45, \cdots, 225$, то есть элементы порядка $16$ это $e, x^{15}, x^{30}, \cdots, x^{210}, x^{225}$

provincialka в сообщении #948810 писал(а):

Кстати, когда будете решать п. б) лучше в примере вместо 6 взять 12. Догадались, почему?

Не совсем понял почему...
Но вот ту нашел формулу, что $ord x^k=\frac{ord (X)}{\gcd (k, ord (X))}$

Если по этой формуле, то получаем, что $16=\frac{240}{\gcd (k, 240)} \Rightarrow \gcd (k, 240)=15 \Rightarrow k = 15, 45, 75, 105, \cdots, 225$

И тогда элементы порядка 5 в $X$ это $x^{15}, x^{45}, x^{75}, \cdots, x^{195}, x^{225}$

[provincialka]

SlayZar в сообщении #948817 писал(а):

Но вот ту нашел формулу,

Формула, это хорошо... Но плохо. А сами-то, сами?
Понимаете ли вы, чем отличаются вопросы а) и б)

[arseniiv]

Кстати, угловые скобки пишутся так: \langle содержимое \rangle — $\langle x\rangle$.