Задача про пучок гипербол

[pooh__]

Требуется найти гмт центров гипербол, проходящих через две фиксированные точки $P,Q$ и имеющих одни и те же асимптотические направления. В указании предлагается рассмотреть пучок какой-то.

Ну собственно мои потуги кончаются на попытки построить пучок гипербол нужных. Для чего я пытаюсь соорудить четвертую точку, но у меня не выхрлит.

[Red_Herring]

Не ограничивая общности можно считать, что асимптотические направления—это $(1,k)$ и $(1,-k)$. Тогда уравнение такой гиперболы будет содержать 3 параметра:

$$ k^2(x-a)^2 - (y-b)^2 = c, $$

где $M(a,b)$ — центр. Считая что $P(x_1,y_1)$ и $Q(x_2,y_2)$

• Что означает что они лежат на гиперболе?
• Исключите $c$ и получите уравнение от-но $(a,b);
• Какую линию оно определяет?

[pooh__]

Ну если следовать вашим словам получаем $k^2(x_{1}-a)^2-(y_{1}-b)^2=k^2(x_{2}-a)^2-(y_{2}-b)^2$.
И все очень просто.
Но почему мы не ограничиваем общность если говорим, что второе направление для $(1,k)$ - $(1,-k)$?

[Red_Herring]

pooh__ в сообщении #948644 писал(а):

о почему мы не ограничиваем общность если говорим, что второе направление для

Поворот!

[pooh__]

Ой точно. Спасибо большое!
А как вот при решении таких задач нужно думать(понимаю что вопрос глупый, но есть ли какие либо общие соображения?)

[Red_Herring]

pooh__ в сообщении #948648 писал(а):

но есть ли какие либо общие соображения?

Помогает упрощение, не уменьшающее общности. В частности, в Вашей задаче вообще можно было считать что $k=1$: растяжение вдоль одной из осей. Ну здесь от него пользы мало.