Еще немного теории вероятности -2

[geezer]

Вот две последние задачи - это что-то с чем-то....

Задача 1. Пусть $P,P_1,P_2...$ - последовательность целочисленных распределений. Доказать, что $P_n \rightarrow P$ тогда и только тогда, когда $P_n(k) \rightarrow P(k)$ для каждого целого $k$.

Задача 2. Доказать, что функция$ f(t) = \sum\limits_{k=1}^\infty a_k exp(-c_k |t|^{a_k})$ , где $a_k \geqslant 0$, $\sum a_k =1, c_k \geqslant 0, 0 < a_k \leqslant 1$ является характеристической функцией безгранично делимого распределения.

К первой задаче в задачнике имеется краткое решение. Вот оно:

Пусть $P_n \rightarrow P \Rightarrow \forall$ непрерывной ограниченной функции $f(x) \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dP_n \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dP$.

Тут вроде понятно - для непрерывных функций интеграл Римана - Стилтьеса существует, что позволяет говорить о существовании такого перехода. Далее:

Пусть $f(k)=1,f(x)=0$ при $|x-k|\geqslant1/2$ и $f(x)$ линейна на каждом из отрезков $[k-1/2,k],[k,k+1/2]$. Тогда $P_n(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dP_n \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dP = P(k)$.

Не совсем понятен выбор именно 1/2. Почему так,что это дает? В другую сторону доказывается через аналогичный переход в интегральных суммах, там более менее понятно.

А вот во второй задаче даже не знаю,за что ухватиться. Может кто подсказать?

[--mS--]

Ну возьмите не $1/2$, а $1/3$, какая разница. Вы функцию нарисуйте, вот и станет понятно, зачем она такая.

А можно, кстати, попросить Вас привести определение - что значит "$P_n\to P$"? А что что-то меня очень смущает фраза

geezer в сообщении #947425 писал(а):

Тут вроде понятно - для непрерывных функций интеграл Римана - Стилтьеса существует, что позволяет говорить о существовании такого перехода.

Во второй задаче Вам следовало бы привести для начала перечень всего, что было дано про характеристические функции и заодно про безгранично делимые распределения. А то от печки-то дорога длинная... Например, умеете ли Вы показать, что функция $f(t)=e^{-|t|^{\alpha}}$ является характеристической при $0<\alpha \leq 1$?

(Оффтоп)

Что-то сомневаюсь я, что в том же месте, где дают задачи на вычисление функции распределения по плотности студентам, у которых решение требует пяти страниц комментариев, дают тем же студентам такие задачи, как (2).

[--mS--]

Кстати, Вы уверены, что $a_k$ в показателях степени те же самые, что в коэффициентах? Это в достаточной степени бессмысленно. Да и судя по области значений параметров, где рядом с $a_k\geqslant 0$ стоит $0<a_k\leqslant 1$, в коэффициентах должны стоять какие-то другие, вообще говоря, числа $\alpha_k$, и про них же должно быть последнее неравенство: $0<\alpha_k\leqslant 1$.

[geezer]

--mS-- в сообщении #947575 писал(а):

А можно, кстати, попросить Вас привести определение - что значит "$P_n\to P$"?

Это же предел. $P_n$ - последовательность, а $P$ - её предел. Или я чего-то не понимаю?

--mS-- в сообщении #947575 писал(а):

Во второй задаче Вам следовало бы привести для начала перечень всего, что было дано про характеристические функции и заодно про безгранично делимые распределения.

В смысле привести "перечень всего,что было дано"? Имеете в виду на лекциях? Кстати, про безгранично делимые распределения ничего дано не было,и я не знаю,где взять по ним надежную информацию.

Да,виноват,спутал $a$ и $\alpha$....

$f(t) = \sum\limits_{k=1}^\infty a_k exp(-c_k \cdot |t|^{\alpha_k})$

$a_k \geqslant 0, \sum a_k = 1, c_k \geqslant 0, 0 < \alpha_k \leqslant 1$

[--mS--]

geezer в сообщении #947651 писал(а):

Это же предел. $P_n$ - последовательность, а $P$ - её предел. Или я чего-то не понимаю?

Предел чего? Последовательность чего?

Вы не ответили ни на один вопрос. Как Вы представляете себе помощь? Решить за Вас?

[geezer]

--mS-- в сообщении #947892 писал(а):

Последовательность чего?

В задании же написано - последовательность целочисленных распределений.

--mS-- в сообщении #947892 писал(а):

Как Вы представляете себе помощь? Решить за Вас?

Нет. И агрессии Вашей я не понимаю - вы задали вопрос, ответ на который дан в задании.

[Lia]

geezer в сообщении #947950 писал(а):

вы задали вопрос, ответ на который дан в задании.

Не дан. Ответьте на вопрос, пожалуйста, что подразумевается (в т.ч. и Вами) в данном случае под сходимостью последовательности целочисленных распределений $P_n$ к $P$. Определение.

[--mS--]

geezer, и повторю второй, раз Вы не замечаете вопросов:

--mS-- в сообщении #947575 писал(а):

Во второй задаче Вам следовало бы привести для начала перечень всего, что было дано про характеристические функции
...
Например, умеете ли Вы показать, что функция $f(t)=e^{-|t|^{\alpha}}$ является характеристической при $0<\alpha \leq 1$?

На лекции, на семинарах, всё равно где. Можно начать сразу с данной функции, я по последовательности действий пойму, чем Вы пользуетесь.

[geezer]

Lia в сообщении #947967 писал(а):

Ответьте на вопрос, пожалуйста, что подразумевается (в т.ч. и Вами) в данном случае под сходимостью последовательности целочисленных распределений $P_n$ к $P$. Определение.

Вероятно, я был малость самонадеян, когда решил, что понял, что это такое.... Могу только предположить, так как определения не нашел.

Распределение случайной величины - это функция, ставящая соответствие между множествами $B \in \beta$ и $P(\zeta \in B)$ , где $\beta$ - борелевская сигма-алгебра, $P$ - вероятность, $\zeta$ - случайная величина.

Могу только предположить,что речь идет о стремлении предела функции $P_n$ к пределу $P$ ....

-- 16.12.2014, 23:36 --

--mS-- в сообщении #947974 писал(а):

раз Вы не замечаете вопросов:

Нет, не умею.
На упражнениях были только типовые вычислительные задачи. Про безгранично делимые распределения речи тоже никогда не было, а в имеющейся литературе я такого не нашел.

[--mS--]

Начните с изучения всех лекций для начала. Как только разберетесь со сходимостями последовательностей случайных величин и последовательностей распределений, можно будет вернуться к задаче 1.

[geezer]

Как я понял, в приведенном решении рассматривается вид сходимости, называемый сходимостью по распределению.

-- 17.12.2014, 00:15 --

В начале там предполагается наличие сходимости по вероятности, которое влечет за собой сходимость по распределению.

[geezer]

Значки в первой задаче не привычные, у нас в лекциях по другому обозначается все.

Поэтому вопрос: правильно ли я понимаю, что доказать надо сходимость по вероятности из сходимости по распределению?

[--mS--]

Нет, сходимость по вероятности вообще нигде тут не возникала. Приведите определение - что такое сходимость распределений. Из лекций.

[geezer]

--mS-- в сообщении #948126 писал(а):

Приведите определение - что такое сходимость распределений. Из лекций.

${\zeta_n \rightarrow \zeta, n \rightarrow \infty} \Leftrightarrow {\forall x \in \Re $- точки непрерывности функции распределения $F_\zeta$
$F_{\zeta_n}(x) \rightarrow F_\zeta(x)} \Leftrightarrow {\forall$ непрерывной и ограниченной функции $f Ef(\zeta_n) \rightarrow Ef(\zeta), n \rightarrow \infty}$

где
$\zeta $- случайная величина
$E$ - мат.ожидание

[--mS--]

Замечательно. Теперь первая фраза в решении первой задачи вопросов вызывать больше не должна.