2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Простая линейная алгебра
Сообщение15.12.2014, 18:10 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Допустим есть матрица:
$$\left(\begin{array}{l c c}
a & 0 & 0\\
0 & b & ic\\
0 & -ic & b
\end{array}\right),$$
где $a, b, c$ - вещественные числа. Надо сосчитать собственные значения и вектора.
Собственные значения:
$\lambda_{1} = a, \lambda_{2} = b + c, \lambda_{1} = b - c $.
А вот с векторами я что-то туплю.
Например, для $\lambda_{1}$:
$$\left(\begin{array}{l c c}
0 & 0 & 0\\
0 & b - a & ic\\
0 & -ic & b - a
\end{array}\right) \left(\begin{array}{l}
c_1\\
c_2\\
c_3 
\end{array}\right) = 0.$$
Как я понимаю, то $c_1$ произвольно, а вот, что с $c_2$ и $c_3$? Ведь для того, чтобы они нашлись необходимо еще одно условие $(b - a)^2 = c^2 $. И вот это меня ставит в ступор. Что-то важное я забыл из линейки, помоги, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Простая линейная алгебра
Сообщение15.12.2014, 18:17 
studentmk_32 в сообщении #946917 писал(а):
Например, для $\lambda_{1}$:
$$\left(\begin{array}{l c c}
0 & 0 & 0\\
0 & b - a & ic\\
0 & -ic & b - a
\end{array}\right) \left(\begin{array}{l}
c_1\\
c_2\\
c_3 
\end{array}\right) = 0.$$
Как я понимаю, то $c_1$ произвольно, а вот, что с $c_2$ и $c_3$?

Все в порядке, просто надо решить эту систему уравнений. В частности, если $a\neq b-c$ и $a\neq b+c$, то у Вас должно получиться $c_2=c_3=0$.

 
 
 
 Re: Простая линейная алгебра
Сообщение15.12.2014, 19:04 
Аватара пользователя
patzer2097

Ага, спасибо, это я понимаю.
Просто это из задачки по физике и это дополнительно условие меня смущает.
То есть ответ таков (для $\lambda_1$):
$$\left(\begin{array}{l}
c_1\\
c_2\\
\frac{ic}{b - a} c_2
\end{array}\right),$$
если $(b - a)^2 = c^2$ и
$$\left(\begin{array}{l}
c_1\\
0\\
0
\end{array}\right),$$
в противном случае? $c_1$ и $c_2$ - произвольные константы.

 
 
 
 Re: Простая линейная алгебра
Сообщение15.12.2014, 20:54 
ну вроде бы все ok

 
 
 
 Re: Простая линейная алгебра
Сообщение16.12.2014, 23:51 
Аватара пользователя
patzer2097

Спасибо Вам, вроде разобрался.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group