Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

[krodd2]

Здравствуйте!

Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$$

Рассмотрим ряд из модулей:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \bigg|\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}\bigg|=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n+(-1)^n}\<$$

$$\frac{1}{n+(-1)^n}\le\frac{1}{n-1}\sim \frac{1}{n}$$

Ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n}$ расходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной форме, ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n-1}$ расходится. По признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n+(-1)^n}$ расходится. Значит, абсолютной сходимости нет.

Как теперь исследовать ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$ на условную сходимость?

Хотел применить признак Лейбница, но последовательность $a_n=\{\frac{1}{n+(-1)^n}\}=\{\frac{1}{3}; \ \frac{1}{2}; \ \frac{1}{5}; \ \frac{1}{4}; ...\}$ стремиться к нулю, но не убывает.

[ИСН]

Поменяйте местами первые два члена.

[provincialka]

krodd2, попробуйте сложить члены ряда по два.

[al1as]

krodd2 в сообщении #947839 писал(а):

$$\frac{1}{n+(-1)^n}\le\frac{1}{n-1}\sim \frac{1}{n}$$

Ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n}$ расходится. Следовательно, по признаку сравнения в предельной форме, ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n-1}$ расходится. По признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n+(-1)^n}$ расходится. Значит, абсолютной сходимости нет.

Для расходимости неравенство должно быть в другую сторону, однако ответ верный - абсолютной сходимости нет.

(Оффтоп)

Был не прав, provincialka, в самом деле, забыл об этом, а так все хорошо получалось..))
Хотя Вашим способом ничуть не хуже выходит.

[provincialka]

al1as в сообщении #947920 писал(а):

смотрите в сторону эквивалентности членам ряда Лейбницевского типа.

Что вы понимаете в данном случае под "эквивалентностью"? Если признак сравнения - то он только для абсолютной сходимости.