Логика и методология математики.

[arseniiv]

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

На формальном языке предикат и есть "синтаксически правильная формула в языке теории".
Я не понимаю, в чём разница.

Но пригодны к подстановке в схему и формулы без свободных переменных!

-- Вт дек 16, 2014 19:43:22 --

Тогда как у вас

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

Математические утверждения со свободными объектными переменными называются предикатами.

[Феликс Шмидель]

arseniiv в сообщении #947706 писал(а):

Но пригодны к подстановке в схему и формулы без свободных переменных!

-- Вт дек 16, 2014 19:43:22 --

Тогда как у вас

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

Математические утверждения со свободными объектными переменными называются предикатами.

Я думал об этом, когда давал это определение предиката. Утверждения без свободных переменных тоже предикаты. Можно это добавить:

Цитата:

Математические утверждения со свободными объектными переменными (и только объектными) или без свободных переменных называются предикатами.

Так можно обойтись без упоминания метатеории?

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

На формальном языке предикат и есть "синтаксически правильная формула в языке теории".
Я не понимаю, в чём разница.

Я же писал. Предикат это любое свойство, могут быть предикаты не выразимые формулой.

-- Вт дек 16, 2014 17:21:47 --

Феликс Шмидель в сообщении #947726 писал(а):

Так можно обойтись без упоминания метатеории?

Нельзя писать введение в логику и основания математики и обойтись без упоминания метатеории. Если Вы не хотите запутать читателя.

[grizzly]

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

vicvolf в сообщении #947501 писал(а):

Наверно автор просто хочет сам разобраться в этом вопросе. Но тогда так и надо писать - помогите разобраться. Это не дискуссионная тема, так как нет предмета для обсуждения.

Я действительно использую эту тему для того, чтобы разобраться и улучшить текст своего введения, которое я пишу, прежде всего, потому что мне это нравится.
Я бы хотел продолжить обсуждение, но если уважаемые форумчане согласны с тем, что написал уважаемый vicvolf, не буду этого делать.

Вопрос о том, в каком разделе форума должно вестись подобное рассуждение, вполне способны осилить модераторы. Мне, например, без разницы -- будет это "Общие вопросы" или "Дискуссионные темы" (хотя, раздел "Помогите разобраться" счёл бы менее удобным).
Лично я от подобного рода обсуждений вижу основную пользу именно в обсуждениях. За счёт этого я получаю возможность поверхностно разобраться в потенциально интересных мне вопросах. Для профессионала это прозвучит дико или глупо, но при чтении отточенного учебного изложения глазу не за что зацепиться, и хоть я могу запомнить / понять (формально, строчку за строчкой) цепочку рассуждений в учебниках, но такое "понять" не идёт ни в какое сравнение с "разобраться", пусть даже поверхностно. Я с удовольствием также ищу что-то подобное среди старых тем и обсуждений.
В общем случае косвенным показателем интереса к обсуждению можно считать количество просмотров.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #947736 писал(а):

Я же писал. Предикат это любое свойство, могут быть предикаты не выразимые формулой.

Что это за предикаты? Как могут существовать предикаты не выразимые формулой, если не переходить на логику второго порядка и не связывать предикатные переменные кванторами?

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #947747 писал(а):

Что это за предикаты? Как могут существовать предикаты не выразимые формулой, если не переходить на логику второго порядка и не связывать предикатные переменные кванторами?

Например, в элементарной теории поля действительных чисел не выразим формулой предикат "быть натуральным числом".

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

Насколько я понял, такое описание расширенной логики первого порядка неудовлетворительно, и следует указать, что предикатные и функциональные переменные это матапеременные.

Ни в коем случае. Не бывает никакой «расширенной логики первого порядка». По крайней мере, в таком смысле. А то, что Вы называете «предикатной переменной» на самом деле является объектной переменной метатеории. Просто объектами метатеории являются строки в алфавите языка теории.

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #943498 писал(а):

Математические утверждения со свободными объектными переменными называются предикатами.

На формальном языке предикат и есть "синтаксически правильная формула в языке теории".
Я не понимаю, в чём разница.

В разговорной речи возможно несколько вольное обращение с терминами, но при формализации следует чётко различать:
1) Предикатная переменная — это спецсимвол в алфавите языка теории (в логике первого порядка не используются).
2) Предикатная константа — это спецсимвол в алфавите языка теории (из другого подмножества алфавита). Раз уж в логике первого порядка нет предикатных переменных, можно говорить просто «предикатный символ».
3) Формула — это строка, удовлетворяющая определённым требованиям синтаксиса.
4) Предикат — это сущность, которая либо определяется некой формулой теории (в том числе, формула может состоять из одного предикатного символа и списка объектных переменных в скобках), либо не может быть определена ни одной формулой теории. Кстати, формул для одного предиката может быть много.

Чувствуете разницу между «строкой» и «тем, что она определяет»? Ровно как между «объектной константой» и «объектом теории».

Присоединяюсь к замечанию Xaositect
про необходимость упоминания метатеории.

[Феликс Шмидель]

Xaositect в сообщении #947756 писал(а):

Например, в элементарной теории поля действительных чисел не выразим формулой предикат "быть натуральным числом".

В эту теорию, наверное, не ввели понятия "$x$ - натуральное число", поэтому предикат "быть натуральным числом" и невыразим формулой. Как этот предикат может вообще существовать в этой теории?

Xaositect в сообщении #947736 писал(а):

Нельзя писать введение в логику и основания математики и обойтись без упоминания метатеории. Если Вы не хотите запутать читателя.

epros в сообщении #947758 писал(а):

Ни в коем случае. Не бывает никакой «расширенной логики первого порядка». По крайней мере, в таком смысле. А то, что Вы называете «предикатной переменной» на самом деле является объектной переменной метатеории. Просто объектами метатеории являются строки в алфавите языка теории.

Я с уважением отношусь к мнению специалистов, но думаю, что введение метатеории усложнит изложение.
Метатеория нужна для того, чтобы рассуждать о теории - это дело специалистов в области математической логики. А человеку, который хочет рассуждать в теории, метатеория не нужна.
Ему достаточно понимать, что в аксиомах могут быть только объектные переменные, хотя в аксиомных схемах есть предикатные переменные. Поскольку все утверждения теории выводятся из аксиом, то предикатных переменных в этих утверждениях не может быть.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #947813 писал(а):

Как этот предикат может вообще существовать в этой теории?

В теории может существовать любой предикат, определённый на её объектах. Ибо предикат — это отображение объектов на значения истинности.

Феликс Шмидель в сообщении #947813 писал(а):

думаю, что введение метатеории усложнит изложение.
Метатеория нужна для того, чтобы рассуждать о теории - это дело специалистов в области математической логики. А человеку, который хочет рассуждать в теории, метатеория не нужна.

Зря Вы так думаете. Без понимания значения метатеории невозможно понимание того, что такое логика и откуда она берётся.

Феликс Шмидель в сообщении #947813 писал(а):

хотя в аксиомных схемах есть предикатные переменные

Это неверное утверждение. Такими утверждениями Вы точно собьёте читателя с толку.

[Феликс Шмидель]

Хорошо, я изменю текст введения.
Но сначала, мне надо самому во всём разобраться.
Спасибо за помощь.

[vicvolf]

Феликс Шмидель в сообщении #947637 писал(а):

vicvolf в сообщении #947501 писал(а):

Наверно автор просто хочет сам разобраться в этом вопросе. Но тогда так и надо писать - помогите разобраться. Это не дискуссионная тема, так как нет предмета для обсуждения.

Я действительно использую эту тему для того, чтобы разобраться и улучшить текст своего введения, которое я пишу, прежде всего, потому что мне это нравится.
Я бы хотел продолжить обсуждение, но если уважаемые форумчане согласны с тем, что написал уважаемый vicvolf, не буду этого делать.

Я не против продолжения обсуждения, я просто предлагаю перенести тему в рубрику "Помогите разобраться".

[Феликс Шмидель]

epros в сообщении #948161 писал(а):

В теории может существовать любой предикат, определённый на её объектах. Ибо предикат — это отображение объектов на значения истинности.

Мне неясно это определения предиката. Если предикат не выражается формулой теории, то что это такое?
Любое утверждение об объектах теории? Например, "натуральное число делится на чёрную дыру" является предикатом?

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #948219 писал(а):

"натуральное число делится на чёрную дыру" является предикатом?

А почему нет? Пусть даже он всегда выдаёт значение false.

Но Вам же пример приводили. Вполне осмысленный. В элементарной теории поля действительных чисел предикат "$x$ — натуральное число" нельзя выразить формулой теории. Это, тем не менее, не мешает нам находить натуральные числа среди действительных.

[vicvolf]

Феликс Шмидель в сообщении #948219 писал(а):

Мне неясно это определения предиката. Если предикат не выражается формулой теории, то что это такое?
Любое утверждение об объектах теории? Например, "натуральное число делится на чёрную дыру" является предикатом?

Ну вот теперь разбираемся, что такое предикат. Предикат-это какое-любое утверждение. Оно может быть истинным, либо ложным. Дискуссионный форум это не место для выяснения подобных вопросов.
Непонятно, как можно писать введение в логику и не знать, что такое предикат. Писать такую работу может только автор, хорошо знающий предмет и с этих позиций, дающий свой новый взгляд на вещи, отличающийся от уже известных. В чем отличие Вашего взгляда от известных?

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #948226 писал(а):

В элементарной теории поля действительных чисел предикат "$x$ — натуральное число" нельзя выразить формулой теории. Это, тем не менее, не мешает нам находить натуральные числа среди действительных.

Если в теории поля действительных чисел нет формулы "$x$ — натуральное число", то мы не можем находить натуральные числа среди действительных в рамках этой теории.
В рамках какой теории мы это делаем?