Два вопроса о нулевых лагранжианах

[Nuflyn]

Уважаемые коллеги!
Имеется следующие взаимосвязанные вопросы. Пусть имеется следующий функционал $ F = \int\limits_{a}^{b} f(y(x))\cdot\frac{dy}{dx} dx $ . Легко видеть, что он обращается в нуль тождественно, иными словами, всякая функция y(x) будет экстремалью функционала, достаточно написать уравнение Эйлера-Лагранжа и увидим, что оно суть тождество. Насколько я помню лагранжиан обращающий в тождество уравнения ЭЛ называется нулевым и всякий лагранжиан вида "функция умножить на производную 1го порядка" является таковым (рассматривается одномерный случай) (см., например Олвер Ф. "Группы Ли и ДУ"). Однако, возникает вопрос, является ли данный экстремум минимумом или максимумом. Вторая вариация для него равна нулю тождественно. Функция Вейерштрасса тоже. Вопрос в том, как для такой задачи определить доставляет ли экстремаль минимум или максимум.
Второй вопрос близок к первому. Есть функционал $ F = \int\limits_{a}^{b} n(y(x))\cdot f(y(x))\cdot\frac{dy}{dx} dx $ и при нем дифференциальное ограничение $ (\frac{dy}{dx} / n(y(x))) - 1 = 0 $, т.е. по сути ДУ. Запишем для такой задачи лагранжиан $ n(y(x))\cdot f(y(x))\cdot\frac{dy}{dx} + \lambda(x) \cdot ((\frac{dy}{dx} / n(y(x))) - 1 )$
Легко увидеть, что такой лагранжиан является нулевым и уравнение ЭЛ обращается в тождество, а $ \lambda$ оказывается константой, записав ЭЛ для такого лагранжиана и не забывая, что лагранжев множитель может зависеть лишь от x.
Если теперь использовать условие связи (ДУ) заменить под знаком интеграла n(y) на производную, то получим квадратичный по производной лагранжиан, который уже не является нулевым и уравнение ЭЛ для него отнюдь не тождество. При этом, обе эти задачи (до подстановки ДУ в интеграл и после) являются, как мне кажется, одной и той же задачей, поскольку, ну не может же решение зависеть от произвола в способе записи. Помогите, пожалуйста, разрешить этот мнимый парадокс.

[ИСН]

Уравнение ЭЛ после подстановки будет эквивалентно диффуру, который дифференциальное ограничение. От произвола в способе записи зависит только то, когда решать этот диффур: до обеда или после.

[Nuflyn]

Цитата:

Уравнение ЭЛ после подстановки будет эквивалентно диффуру

Я не вполне понимаю, что Вы имеет в виду. Вот я пишу уравнение ЭЛ $ \frac{d(2 f(y(x))\cdot \dot{y})}{dx} - \frac{\partial f}{\partial y}\cdoty(\dot{y})^2+ \dot{\lambda} \cdot \frac{1}{n(y)} =0 $
В каком смысле оно эквивалетно ДУ?

[ИСН]

В таком смысле, что до этого мы выбирали из всех функций, а теперь будем не из всех.

[Nuflyn]

Цитата:

В таком смысле, что до этого мы выбирали из всех функций, а теперь будем не из всех.

Только из тех, что удовлетворяют ДУ? Вывод логичный, спору нет, но как это следует из уравнения ЭЛ, которое кстати при подстановке в него ДУ связи сводится к следующему $ \frac{d( f(y(x))\cdot (\dot{y})^2)}{dx} + \dot{\lambda} =0 $

(т.е. получается, что лагранжиан без ограничения равен множителю лагранжа с обратным знаком плюс конст, чего я тоже не понимаю, ведь множитель лагранжа не может зависеть от y или производной, а только от x)

[Oleg Zubelevich]

автор ищет максимумы у функции $f\equiv const$ или мне показалось?

[Nuflyn]

Цитата:

автор ищет максимумы у функции

На то оно и вариационное исчисление что не знаешь заранее что найдешь. Но вообще f(y(x)) это произвольная функция от y(x)

[Nuflyn]

поясню. возможно я не слишком отчетливо сформулировал. Я наблюдаю мнимый парадокс. А именно. Когда решаешь задачу с таким вот лагранжианом
$ L = n(y(x))\cdot f(y(x))\cdot\frac{dy}{dx} + \lambda(x) \cdot ((\frac{dy}{dx} / n(y(x))) - 1 ) $

видишь что уравнения ЭЛ обращаются в тождество.
Когда подставляешь уравнение связи в $ \frac{dy}{dx} = n(y )$ вместо n(y) в лагранжиан и получаешь квадратичность по производной и ЭЛ имеет вид
$ $ $ \frac{d( f(y(x))\cdot (\dot{y})^2)}{dx} + \dot{\lambda} =0 $ $т.е. не тождество.
При этом - это одна и та же задача.

[ИСН]

Одно уравнение ничего не значит, а значит их совокупность, которая у Вас есть. В первом случае это совокупность уравнения ЭЛ и уравнения связи; её решение - тоже не тождество.

[Nuflyn]

Цитата:

Одно уравнение ничего не значит, а значит их совокупность, которая у Вас есть. В первом случае это совокупность уравнения ЭЛ и уравнения связи; её решение - тоже не тождество.

В первом случае ЭЛ-тождество, т.е. решение задачи сводится просто к интегрированию уравнения связи. Это понятно. Следовательно для второго случая (после замены) решение тоже должно фактически свестись к уравнению связи. Однако тут мы видим совсем другое: да уравнение связи никуда не делось, но еще есть уравнение ЭЛ странного вида $ \frac{d( f(y(x))\cdot (\dot{y})^2)}{dx} + \dot{\lambda} =0 $. Я лично не представляю что с ним делать, ведь множитель Лагранжа не должен зависеть от y.

[Nuflyn]

И все таки, коллеги, возможно кто-то знает что делать с первым вопросом: есть функционал $ F = \int\limits_{a}^{b} f(y(x))\cdot\frac{dy}{dx} dx $ , он обращается в нуль тождественно, т.е., всякая функция y(x) будет экстремалью функционала. Возникает вопрос, является ли данный экстремум минимумом или максимумом.
Вторая и высшие вариации для него равны нулю, функция Вейерштрасса - тоже, насколько я могу судить.

[Red_Herring]

Nuflyn в сообщении #948327 писал(а):

есть функционал $ F = \int\limits_{a}^{b} f(y(x))\cdot\frac{dy}{dx} dx $ , он обращается

Для начала, он не обращается в нуль тождественно, а равен $F(y(b))-F(y(a))$, где $F$—первообразная от $f$. Но если сузить его на функции с фиксированными $y(b)$ и $y(a)$ то он будет константой, и тем самым в этом классе всякая функция будет и минимумом и максимумом. Но в силу крайнего вырождения никакие высшие и высочайшие вариации ничего не дадут.

[Nuflyn]

Цитата:

Для начала, он не обращается в нуль тождественно

я не правильно выразился обращается в нуль не он, конечно, а уравнения Эйлера-Лагранжа.

[Red_Herring]

Так в чем вопрос-то?

Red_Herring в сообщении #948328 писал(а):

тем самым в этом классе всякая функция будет и минимумом, и максимумом.

[Nuflyn]

Цитата:

всякая функция будет и минимумом и максимумом

Как это так и минимумом и максимумом? разве это возможно? Есть стандартное определение минимума/максимума функционала. Точка y0 называется точкой локального максимума (минимума) функционала, если существует окрестность точки y0 такая, что для всех выполняется неравенство ... Как в свете этого определения возможно чтобы экстремум был и минимумом и максимумом