Тройной интеграл в сферической системе координат.

[KateZh]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с примером.
Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в сферической системе координат в интеграле

$$\iiint\limits_{D}^{} f(x,y,z)dxdydz,$$

если $ D={(x,y,z): x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2, z \geqslant R/3}$
Мои попытки перевести в сферические координаты закончились таким результатом:
$ x=r cos \varphi sin \varphi, y=r sin \varphi sin \theta, z=r cos \theta $
Пределы: $ R/3 \leqslant r \leqslant R, 0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2} $

Интеграл примет вид:

$$ \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int \limits_{R/3}^{R} r^2 dr \int \limits_{0}^{\pi/2} sin \theta d \theta $$

Верно ли это?
И какие еще есть способы расстановки пределов интегрирования?

[ИСН]

Что за область описывают эти неравенства? Как она называется словами?

[KateZh]

Насколько я понимаю, область - верхняя часть сферы.

[ИСН]

Шара, а не сферы. И у этой штуки есть название, специальное такое слово (примерно как "секвестр" или "менуэт").
Ну да ладно; а область, которую описывают Ваши пределы - это что?

[12d3]

Для проверки, посмотрите, принадлежит ли точка $(R,0,0)$ вашей области. А потом найдите координаты этой точки в сферической системе и посмотрите, лежит ли она в найденных вами пределах. А потом ищите ошибку.

[Pphantom]

KateZh в сообщении #947361 писал(а):

Мои попытки перевести в сферические координаты закончились таким результатом:
$x=r cos \varphi sin \varphi, y=r sin \varphi sin \theta, z=r cos \theta$

Если действительно именно таким, то это неверно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Отредактируйте формулы по всей теме. Каждая формула должна начинаться на знак $ и заканчиваться на него же и не содержать таких знаков в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[KateZh]

Я поняла, что я взяла половину нужной фигуры, должно быть $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$, правильно я поняла?

[ИСН]

12d3 в сообщении #947489 писал(а):

посмотрите, принадлежит ли точка $(R,0,0)$ вашей области.

Да или нет?

12d3 в сообщении #947489 писал(а):

найдите координаты этой точки в сферической системе

$r=?\;\varphi=?\;\theta=?$

[KateZh]

Точка $(R;0;0)$ моей области не принадлежит, поскольку по условию $z \geqslant \frac {R}{3}$, $r \cos \varphi \sin \theta=R, r \sin \varphi \sin \theta =0, r \cos \theta =0$, откуда $r=-R, \varphi=\pi n, \theta= \frac {\pi}{2}+\pi n$, тоже не принадлежит найденной области.

[12d3]

KateZh в сообщении #947626 писал(а):

откуда $r=-R, \varphi=\pi n, \theta= \frac {\pi}{2}+\pi n$, тоже не принадлежит найденной области

А какие значения могут принимать сферические координаты? Вот декартовы - так вообще любые вещественные. А что вы знаете про сферические? Может ли $r$ быть отрицательным?

[ИСН]

Всё не так. KateZh, переосмыслите свой взгляд на сферические координаты.

[KateZh]

Из условия $x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2: r=R $, из условия $z \geqslant \frac {R}{3}: r= \frac {R}{3 \cos \theta}$. Получается, $ \frac {R}{3 \cos \theta} \leqslant r \leqslant R, 0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi$. Правильно или я опять не так поняла? Откуда можно найти пределы $\theta$?

[ИСН]

Пределы $\theta$ можно найти, взяв все точки Вашей фигуры и найдя для каждой из них $\theta$. Какое самое большое значение там получится? А самое маленькое?