Полный дифференциал второго порядка сложной функции

[fronnya]

Дана функция $u=f(\xi,\eta)$, где $\xi=xy, \eta=\frac{x}{y}$ Найти полные дифференциалы первого и второго порядков.
С первым все понятно, тут действует инвариантность формы:

$$du=\frac{\partial f}{\partial\xi}d\xi+\frac{\partial f}{\partial\eta}d\eta=\frac{\partial f}{\partial\xi}\left( \frac{\partial\xi}{\partial x}dx+\frac{\partial \xi}{\partial y} dy\right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}dx+\frac{\partial \eta}{\partial y}dy\right)=\frac{\partial f}{\partial \xi}\left(ydx+xdy \right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$

А как найти второй дифференциал? Я запутался.

[provincialka]

При вычислении второго дифференциала $dx, dy$ рассматриваются как константы. А частные производные $f'_1, f'_2$ - как функции тех же переменных, что и $f$. Поэтому, чтобы их продифференцировать, просто перепишите уже найденные выражения, подставив вместо $f$ эти производные.

[fronnya]

provincialka в сообщении #946988 писал(а):

При вычислении второго дифференциала $dx, dy$ рассматриваются как константы. А частные производные $f'_1, f'_2$ - как функции тех же переменных, что и $f$. Поэтому, чтобы их продифференцировать, просто перепишите уже найденные выражения, подставив вместо $f$ эти производные.

Не понял.

[provincialka]

Что именно? Что я вместо греческих букв их номера поставила?

[fronnya]

provincialka в сообщении #947009 писал(а):

Что именно? Что я вместо греческих букв их номера поставила?

Возможно Если вам не сложно, можете это написать в моих обозначениях? Мне такими обозначениями просто удобнее пользоваться, хоть это и бывает громоздко. Но я сразу вижу, производная чего и по чем.

[provincialka]

$$du=df=\frac{\partial f}{\partial \xi}\left(ydx+xdy \right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$

Соответственно,

$$d\frac{\partial f}{\partial \xi}=\frac{\partial \frac{\partial f}{\partial \xi}}{\partial \xi}\left(ydx+xdy \right)+\frac{\partial \frac{\partial f}{\partial \xi}}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$

Множители перед скобками можно переписать как вторые производные. То же сделать для $\frac{\partial f}{\partial \eta}$ и подставить в формулу дифференциала.... Ой, писать не буду, долго!

[fronnya]

А можно ли вот так написать:

$$d^2u=d(du)=d\left(\frac{\partial f}{\partial \xi}\right) (ydx+xdy)+\frac{\partial f}{\partial \xi} d(ydx+xdy)+d\left(\frac{\partial f}{\partial \eta}\right)\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)+\frac{\partial f}{\partial \eta}d\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$

[provincialka]

Именно! (только у вас там опечатка, лишний "плюс"). А уже дифференциалы от производных запишите, как я вам показала. Получится громоздко, не спорю.... А кому сейчас легко?

[fronnya]

provincialka в сообщении #947036 писал(а):

Именно! (только у вас там опечатка, лишний "плюс"). А уже дифференциалы от производных запишите, как я вам показала. Получится громоздко, не спорю.... А кому сейчас легко?

Вопрос такой: $\frac{\partial f}{\partial \xi}$- сложная функция? Я себе немного не представляю, от чего она зависит?

[provincialka]

fronnya в сообщении #947042 писал(а):

Вопрос такой: $\frac{\partial f}{\partial \xi}$- сложная функция? Я себе немного не представляю, от чего она зависит?

provincialka в сообщении #946988 писал(а):

частные производные $f'_1, f'_2$ - как функции тех же переменных, что и $f$.

Ну, замените 1 и 2 на $\xi$ и $\eta$.

[fronnya]

Ну ладно.. Почему постоянно навязывают эти обозначения, в универе, тут.. Я попробую записать в них. Раз $f'_1$- сложная функция, то её дифференциал $df'_1$ будет обладать инвариантностью формы. Тогда

$$df'_1=\frac{\partial f'_1} {\partial \xi} d\xi +\frac{\partial f'_1}{\partial \eta}d\eta$$

Правильно?

[provincialka]

fronnya в сообщении #947055 писал(а):

Почему постоянно навязывают эти обозначения, в универе, тут

Мы старенькие, нам лень.
А если серьезно, нумерация аргументов лишний раз показывает, что неважно, как их обозначить. Важно, что это аргументы функции. Можно, например, писать так: $f(\cdot,\cdot)$ -- сразу видно что это функция от двух аргументов, не важно, как их обозначить.

fronnya в сообщении #947055 писал(а):

Правильно?

Правильно. Но не нужно. Вы же уже выписали дифференциал аналогичной функции $f$. Теперь надо просто подставить вместо нее $f'_\xi$, как я выше показывала.

[fronnya]

Получил вот такое:

$$\begin{multline*} d^2u=\frac{\partial^2 f}{\partial \xi^2}(ydx+xdy)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial \xi\partial \eta} (xdy+ydx)\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)+\frac{\partial^2 f}{\partial \eta^2} \left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)^2+ \frac{\partial f}{\partial \xi} d(ydx+xdy)+ \\ +\frac{\partial f}{\partial \eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)^2 \end{multline*}$$

Черт. Почему там ошибка синтаксиса? Я не могу формулу разбить на две строки.

-- 15.12.2014, 20:47 --

Ладно. Получилось так:

$$\left(\frac{\partial}{\partial \xi}(xdy+ydx)+\frac{\partial}{\partial\eta}\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)\right)^2 f+\frac{\partial f}{\partial\xi}d(xdy+ydx)+\frac{\partial f}{\partial\eta}d\left(\frac{ydx-xdy}{y^2}\right)$$

Что делать с последними двумя слагаемыми? Как раскрыть?

[arseniiv]

Всё по определению дифференциала! (Если доказано, что $d(fg) = df\cdot g + f\cdot dg$ — а иначе придётся немного больше писать.)

$$d(xdy) = d(x)dy + xd(dy) = \left(\frac{\partial x}{\partial x}dx + \frac{\partial x}{\partial y}dy\right)dy + \left(\frac{\partial(dy)}{\partial x}dx + \frac{\partial(dy)}{\partial y}dy\right)x = (dx + 0)dy + (0 + 0)x = dxdy.$$

Обычно, правда, сразу замечают, что $dy$ — константа от обоих $x, y$, и используют следствие вышеупомянутого правила Лейбница $d(cf) = cdf$, и пишут коротко: $d(xdy) = dxdy$. Но подробное расписывание пригодится вам с последним слагаемым! (Хотя снова не настолько подробное, но зато это пример.)

[fronnya]

arseniiv в сообщении #947212 писал(а):

Всё по определению дифференциала! (Если доказано, что $d(fg) = df\cdot g + f\cdot dg$ — а иначе придётся немного больше писать.)

$$d(xdy) = d(x)dy + xd(dy) = \left(\frac{\partial x}{\partial x}dx + \frac{\partial x}{\partial y}dy\right)dy + \left(\frac{\partial(dy)}{\partial x}dx + \frac{\partial(dy)}{\partial y}dy\right)x = (dx + 0)dy + (0 + 0)x = dxdy.$$

Обычно, правда, сразу замечают, что $dy$ — константа от обоих $x, y$, и используют следствие вышеупомянутого правила Лейбница $d(cf) = cdf$, и пишут коротко: $d(xdy) = dxdy$. Но подробное расписывание пригодится вам с последним слагаемым! (Хотя снова не настолько подробное, но зато это пример.)

А почему вы написали так, как будто $x$ - это функция $x$ и $y$?