Уравнения Лагранжа второго рода.

[tech]

Здравствуйте.
Есть следующая задача:
Однородный стержень может двигаться в вертикальной плоскости $xy$, которая вращается с угловой скоростью $\omega=\omega(t)$ вокруг вертикальной оси $Oy$. Составить уравнения относительного движения стержня в форме Лагранжа.

(Оффтоп)

Моё решение:
Переносная скорость перпендикулярна относительной. Тогда кинетическую энергию можно записать так: $K=K_r+K_e$.
По теореме Кёнига, $$K_r=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{1}{2}(\frac{1}{12}ml^2)\dot{\varphi}^2,$ где $l$ -длина стержня.
$$K_e=\frac{1}{2}J_{Oy}\omega^2$, где $J_{Oy}$$ - момент инерции стержня относительно оси $y$.

$$J_{Oy}=\frac{1}{3}ml^2\cos^2{\varphi}+m(x-\frac{l}{2}\cos{\varphi})^2$$

Тогда

$$K=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\frac{1}{24}ml^2\dot{\varphi}^2+\frac{m}{2}\omega^2(\frac{1}{3}l^2\cos^2{\varphi}+(x-\frac{l}{2}\cos{\varphi})^2);\ \Pi=mgy$$

Для $x$ и $\varphi$, дифференцируя, получаю уравнения: $$\ddot{x}-(x-\frac{l}{2}\cos{\varphi})\omega^2=0; \ 2l\ddot\varphi-\omega^2(l\sin{2\varphi}+12x\sin{\varphi})=0$

Ответ же к задаче такой: $\ddot{x}-\omega^2 x=0; \ 2\ddot\varphi+\omega^2 \sin{2\varphi}=0$

Подскажите, пожалуйста, в чём я ошибаюсь?

[Oleg Zubelevich]

tech в сообщении #946383 писал(а):

Переносная скорость перпендикулярна относительной. Тогда кинетическую энергию можно записать так: $K=K_r+K_e$.

tech в сообщении #946383 писал(а):

$$K_e=\frac{1}{2}J_{Oy}\omega^2$, где $J_{Oy}$$

- момент инерции стержня относительно оси $y$.

Да, сильно, сильно, кто вас толлько учил так, гланды вырезать электоросваркой через анус...

[tech]

А что не так?
Ну, и отвечая на вопрос, кто учил, –– преподаватель.

[Oleg Zubelevich]

и не лень было момент инерции относительно оси y считать...

[tech]

Ну, момент инерции стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через его конец, известен $\frac{1}{3}ml^2$. Если мы этот стержень повернём к оси, то несложно показать, что это число просто домножится на $\sin^2{\varphi}$. А потом Я ВНЕЗАПНО НАШЁЛ СВОЮ ОШИБКУ.
Теорема Гюйгенса-Штейнера связывает момент инерции относительно одной оси с моментом инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс.
Надо пересчитать.

[tech]

Ошибка оказалась именно в этом.
Хочу попросить кого-нибудь посмотреть моё решение ещё одной задачи:
Внутри полого цилиндра массы $M$ и радиуса $R$, который может свободно качаться вокруг своей горизонтальной образующей, катится без проскальзывания однородный цилиндр массы $m$ и радиуса $r$. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.

(Оффтоп)

Часть решения:

$$K=K_M+K_m; \ K_M=\frac{1}{2}(2MR^2)\dot\theta^2; \ K_m=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)\omega^2$$

Скорость центра масс маленького цилиндра складывается из переносной и относительной:

$$v_C^2=v_e^2+v_r^2+2v_e v_r \cos(\theta-\varphi)$$

$$v_r=(R-r)(\dot\varphi-\dot\theta); \ \ v_e=l(\theta,\varphi)\dot\theta; \ \ l^2(\theta,\varphi)=R^2+(R-r)^2+2R(R-r)\cos(\theta-\varphi)$$

(Оффтоп)

Угловая скорость цилиндра:

$$\omega=\dot\theta-\frac{R-r}{r}(\dot\varphi-\dot\theta)$$

Таким образом,

$$K=MR^2\dot\theta^2+\frac{m}{2}[l^2(\theta,\varphi)\dot\theta^2+(R-r)^2(\dot\varphi-\dot\theta)^2+2l(\theta,\varphi)\dot\theta(\dot\varphi-\dot\theta)(R-r)\cos(\theta-\varphi)]+\frac{1}{4}mr^2[\dot\theta-\frac{R-r}{r}(\dot\varphi-\dot\theta)]^2$$

Правильно ли я нашёл кинетическую энергию системы?
Я пробовал получить уравнения движения, дифференцируя $K-\Pi$, однако моё уравнение получилось раз в пять длиннее, чем уравнение из ответов.