Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Мне нужно классифицировать конечные подгруппы группы $GL_2(\mathbb{Q})$. В общем, я получил, что если $G$ - конечная подгруппа группы $GL_2(\mathbb{Q})$, то $|G| = 2^a 3^b$. Теперь нужно как-то точнее указать эти $a,b$.
Хочу посмотреть 2-группы.
a) Пусть порядок = 2. Тогда $G$ изоморфны $C_2$, где $C_2$ - циклическая группа.
b) порядок = 4. Тогда из циклических групп нам подходит $C_4$. Далее, нужно показать,что из нециклических абелев групп нам подходит только $V_4$ - группа Клейна.
Пока вот это по ходу, если будут ответы и будет интерес участников, еще буду вопросы ))

[AV_77]

Если $a$ - элемент конечного порядка в $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q})$, то жорданов вид для $a$ - диагональная матрица, а собственные числа, стоящие на диагонали, - корни квадратного уравнения. Откуда у Вас тройка вылезла?

[Nemiroff]

AV_77 в сообщении #929027 писал(а):

Откуда у Вас тройка вылезла?

Вот вам трёхчлен $x^2+x+1$, вот вам матрица

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

-- Пн ноя 10, 2014 00:56:58 --

А! Ну тогда можно получить, что $b\leq 1$.

[AV_77]

Nemiroff в сообщении #929039 писал(а):

Вот вам трёхчлен $x^2+x+1$

Да, что-то я упустил, что первообразные корни 3-й и 6-й степеней являются корнями многочлена второй степени

[3.14]

Что-то я не уловил насчет $b \leq 1$... И все-таки еще насчет группы Клейна ) и, вообще, насчет 2-групп. Я хочу получить ограничение на $a$. А вообще, что будет нашим критерием принадлежности той ил иной группы к подгруппе главной линейной группы ? Просто, например, группа $C_4 \times C_2$ тоже не подходит (это относительно подгрупп порядка 8)..

[Nemiroff]

3.14 в сообщении #931238 писал(а):

Что-то я не уловил насчет $b \leq 1$...

Ну вы же можете доказать, что $C_9$ не является подгруппой. А ещё вы можете доказать, что $C_3\times C_3$ не является подгруппой. А ещё теорема Силова.

[3.14]

Здравствуй. Я хочу поговорить насчет того, что $b \leq 1$.
1. Там с помощью матрицы

$$ g = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Порядок $g$ равен 3. Нужно найти матрицу $h$ :
1) $ord(h) = 3$.
2) $gh = hg$.
3) $h$ - не степень $g$.
В общем, не удалось найти такую матрицу $h$. Значит, $C_3 \times C_3$ не подгруппа.
2. Теперь насчет $C_9$. Можно показать, что любой элемент конечного порядка $g \in GL_2(\mathbb{Q})$ будет лежать в $SL_2(\mathbb{Q})$. Но в $SL_2(\mathbb{Q})$ все конечные подгруппы известны и среди них нет $C_9$. Значит $C_9$ нам тоже не подходит. (вроде, правильно ? ).
Получили, что 9 не делит порядок конечной подгруппы, значит (теорема Силова) $b \leq 1$.
Хотел получить подсказку насчет 2-групп. Нужно ограничение на $a$

[3.14]

Так..теперь с 2-подгруппами.
1. Пусть $G$ подгруппа порядка 2. Как и выше, $C_2$ - подходит.
2. Далее, $G$ - порядка 4. $C_4$ - подходит. Потом, рассмотрим группу Кляйна $V_4$. Она, вроде, подходит. Вот такие матрицы :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}. $$

3. Далее, порядок $2^3 = 8$. $C_8$ не подходит. Теперь, $C_4 \times C_2$. Вот почему это не подходит ? )

[3.14]

Так-с, вроде с $C_4\times C_2$ разобрался. Теперь не могу показать, что группа кватернионов $Q_8$ не лежит в $GL_2(\mathbb{Q})$. Надеюсь на подсказку

[Lia]

Заводим отдельную тему, приводим свои соображения. Закрыто.