Задача про числа

[FedorTokarev]

Добрый вечер!
Заинтересовался сложной задачей ЕГЭ по математике, звучит так:

1) Существует ли 4 различных числа таких, что если выбрать любое из этих чисел,
то оно равно сумме каких-то трёх других из этих чисел.

2) При каком наименьшем $n$ существует $n$ различных чисел таких, что если выбрать любое из этих чисел,
то оно равно сумме каких-то трёх других из этих чисел.

Собственно, первый пункт понятен, составляем систему и доказываем, что она имеет только нулевое решение,
а это условию не подходит. Но как действовать со вторым случаем: пробовал - ничего не получилось. Если подскажите, буду очень благодарен!

[provincialka]

Решения пока не знаю, но, может, попробовать соображения порядка? Например, попробовать найти решение для $n=5$. Искать его в виде набора чисел $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$.

Зная эти соотношения, можно упорядочить и суммы по три.

(Оффтоп)

А! Это рассуждение сразу показывает, что пяти чисел мало!

[ИСН]

Да... Непонятно как-то, что с этим делать.
$-2,-1,-1,0,1,1,2$ - это для себя, чтобы понять, что в принципе такое бывает. Слово "различных" в условии я видел, но пока игнорирую.

[FedorTokarev]

$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ - подходят и разные :)

[provincialka]

FedorTokarev, у меня точно такой же пример. А доказали, что меньше 7 чисел нельзя? Там все довольно элементарно.

[FedorTokarev]

Доказал, что для 5 нельзя, упорядочив их, а для 6 пока думаю, чтобы не рассматривать все случаи.
Может, какую подсказочку дадите?

[provincialka]

Могу. Рассмотрите, например, наименьшее число. Оно равно сумме трех других. Какая из этих сумм наименьшая?

(Оффтоп)

Получается, что $x_2+x_3+x_4 \leqslant x_1<x_2$. И еще подобные неравенства можно записать.

[FedorTokarev]

Спасибо большое Вам, provincialka!