мат физика

[germ9c]

4U_t = \Delta U +\sin2x
$U(x,0)= \frac{1}{4} \sin2x$
Используем формулу Пуассона для бесконечного стержня
$U(x,t)=\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int_{R^n} \varphi (\xi) \exp(-\frac{|x- \xi|^2}{4a^2 t}) d\xi + \int_{0}^{t} \int_{R^n} \frac{f(\xi,\tau)}{(2a\sqrt{\pi(t-\tau)})^n} \exp(-\frac{|x- \xi|^2}{4a^2 (t-\tau)}) d\xi d\tau$

$a=\frac{1}{2}$
$f(x)=\frac{1}{4} \sin2x$
n=3
подставим эти данные в формулу, получим
$U(x,t)=\frac{1}{(\sqrt{\pi t})^3} \int_{R^3} \frac{1}{4} \sin(2\xi) \exp(-\frac{|x- \xi|^2}{ t}) d\xi + \int_{0}^{t} \int_{R^3} \frac{\frac{1}{4} \sin(2\xi)}{(\sqrt{\pi(t-\tau)})^3} \exp(-\frac{|x- \xi|^2}{(t-\tau)} )d\xi d\tau$
как дальше решать эти интегралы?
и чему равны вот эти формулы:
$-\frac{|x- \xi|^2}{(t-\tau)}$
$-\frac{|x- \xi|^2}{ t}$

[Slow]

Почему $n=3$? Может попробовать в виде $T(t)\sin2x$ решение искать?

[germ9c]

в задании n=3
и решать нужно формулой Пуассона для беск. стержня

[Slow]

Тогда почему у вас $U$ зависит только от одной пространственной переменной?

[germ9c]

преподаватель сократил наверное, поленился дописать.
ну логично, что
$U(x,y,z,0)=\frac{1}{4} \sin2x$

[Slow]

Тогда формула Пуассона как запишется?

[germ9c]

я же уже все написал выше=)
преподаватель сказал какую формулу использовать, чтобы решить это задание. лично подошел к нему и разузнал, та ли формула? он подтвердил

[Slow]

Там у вас $U(x,t)$, а оказалось что должно быть $U(x,y,z,t)$

[germ9c]

общая формула от этого не изменится

[Slow]

Ладно, а в той формуле $x$ это тот же самый что и в $U(x,y,z,t)$?

[germ9c]

а вы как думаете?
вы задаете вопросы, но я представления не имею, как ответить
преподаватель дал задание, сказал какую использовать формулу, на этом всё
по сути у всех в билетах написано $U(x,0) =...$
сказал использовать формулу Пуассона для беск. стержня, выписал формулу , показал ему. он проверил , согласился.на этом все, что я могу сказать

[Slow]

Ну в общем там, в формуле Пуассона, $x$ и $\xi$ это векторы. Вы знаете что такое модуль вектора?

[Ms-dos4]

У вас как я понимаю задача Коши для бесконечного стержня на $\[ - \infty < x < \infty \]$? Ну дык тогда решение для уравнения вида $\[\frac{{\partial f}}{{\partial t}} = a\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + F(x,t)\]$ с начальным условием $\[f(x,0) = \varphi (x)\]$ выписывается как $\[f(x,t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\varphi (\xi )G(x,\xi ,t)d\xi } + \int\limits_0^t {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {F(\xi ,\tau )G(x,\xi ,t - \tau )d\xi d\tau } } \]$, где функция Грина $\[G(x,\xi ,t) = \frac{1}{{2\sqrt {\pi at} }}{e^{ - \frac{{{{(x - \xi )}^2}}}{{4at}}}}\]$. Зачем вы начали писать решение для многомерного параболического уравнения (ещё и кое где опечатки есть) мне не известно. Т.е. ваша формула просто "сужается" из $\[{R^n}\]$ на $\[R\]$

[germ9c]

так как у нас $R^3$, то делаем замену
$\xi_1 =x+at\cos(\varphi)\cos\theta$
$\xi_2=y+at\sin\varphi\cos\theta$
$\xi_3=z+at\sin\theta$
так как у нас $|x-\xi|^2$
то представим в виде
$\sqrt{(x-\xi_1)^2 +(y-\xi_2)^2 +(z-\xi_3)^2} ^2$
верно?

[Slow]

Ms-dos4 в сообщении #945775 писал(а):

У вас как я понимаю задача Коши для бесконечного стержня на $\[ - \infty < x < \infty \]$? Ну дык тогда решение для уравнения вида $\[\frac{{\partial f}}{{\partial t}} = a\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + F(x,t)\]$ с начальным условием $\[f(x,0) = \varphi (x)\]$ выписывается как $\[f(x,t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\varphi (\xi )G(x,\xi ,t)d\xi } + \int\limits_0^t {\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {F(\xi ,\tau )G(x,\xi ,t - \tau )d\xi d\tau } } \]$, где функция Грина $\[G(x,\xi ,t) = \frac{1}{{2\sqrt {\pi at} }}{e^{ - \frac{{{{(x - \xi )}^2}}}{{4at}}}}\]$. Зачем вы начали писать решение для многомерного параболического уравнения (ещё и кое где опечатки есть) мне не известно. Т.е. ваша формула просто "сужается" из $\[{R^n}\]$ на $\[R\]$

Я так понял преподаватель сказал решать именно по формуле Пуассона для трехмерного случая.