Устойчивость нелинейной системы диффуров

[Nurzery[Rhymes]]

Решаю такое задание из Филиппова: с помощью теорему Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы

$\left\{ \begin{array}{rcl} &\dot{x}=\ln(4y+{e}^{-3x})& \\ &\dot{y}=2y-1+\sqrt[3]{1-6x}& \\ \end{array} \right.$

В примере предлагают выделить линейную часть функций по формуле Тейлора, но я не знаю, что это за формула. Каким образом исследуется устойчивость такой системы и как выполнить то, что предлагают в примере?

Нашел что-то похожее на мою задачу линеаризации, но не знаю, мне нужно это или нет.

$f=\ln(4y+{e}^{-3x})$

Линейная часть - это дифференциал в точке $(x_0; y_0)$. Примем $(x_0; y_0)=(0;0)$. Это значит, линеаризуем функцию в окрестности данной точки.

Формула дифференциала:

$df=\frac{df}{dx}\Delta x + \frac{df}{dy}\Delta y$

$\Delta x = x-x+0 = x$, $\Delta y = y-y_0 = y$

$\frac{df}{dx}=\frac{-3e^{-3x}}{4y+e^{-3x}}$

$\frac{df}{dy}=\frac{4}{4y+e^{-3x}}$

Подставим $x=0, y=0$

$\frac{df}{dx}=-3$

$\frac{df}{dy}=4$

$df = -3\Delta x + 4\Delta y = -3x + 4y$

Что я сделал? Как это мне поможет линеаризовать исходную систему? Просто подставить последнее выражение в место первой функции, и точно так же поступить со второй?
Как после этого исследовать устойчивость нулевого решения? Я читал, что для этого не надо даже решать систему.

[ИСН]

Про ряд Тейлора слышали?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #944519 писал(а):

Про ряд Тейлора слышали?

По-моему там не ряд Тейлора, а что-то, связанное с дифференцированием и нахождением частных производных.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Просьба привести попытки решения и указать конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Slow]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #944521 писал(а):

ИСН в сообщении #944519 писал(а):

Про ряд Тейлора слышали?

По-моему там не ряд Тейлора, а что-то, связанное с дифференцированием и нахождением частных производных.

А ряд Тейлора никак не связан с дифференцированием и нахождением частных производных? Вы знаете что значит
устойчивость по первому приближению?

[Nurzery[Rhymes]]

Slow в сообщении #944601 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #944521 писал(а):

ИСН в сообщении #944519 писал(а):

Про ряд Тейлора слышали?

По-моему там не ряд Тейлора, а что-то, связанное с дифференцированием и нахождением частных производных.

А ряд Тейлора никак не связан с дифференцированием и нахождением частных производных? Вы знаете что значит
устойчивость по первому приближению?

Не знаю, и даже не могу найти литературу по этой теме. Проболел одну лекцию, а теперь оказалось, что разобраться в этой теме не так-то просто.

[ИСН]

ИСН в сообщении #944519 писал(а):

Про ряд Тейлора слышали?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #944672 писал(а):

ИСН в сообщении #944519 писал(а):

Про ряд Тейлора слышали?

Да, и то, что я использовал в первом посте, мало похоже на члены ряда Тейлора. Там нет частных производных, и в знаменателе не факториалы. Или используется первый член этого ряда с производной первого порядка и факториалом единицы в знаменателе?

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #944789 писал(а):

Или используется первый член этого ряда с производной первого порядка и факториалом единицы в знаменателе?

Именно!

[Brukvalub]

Просто замените каждую функцию в правых частях ее дифференциалом в 0, и исследуйте полученную линейную систему.