2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 01:55 
Аватара пользователя
Навеяно вот этим.
Это - полуфабрикат. Выставлен с целью конструктивной критики (может где было, может слишком просто, может с ошибкой...). Приветствуются замечания, исправления, улучшения и проч. и проч. и проч.

Собственные значения $\varepsilon_n$ некоторого гамильтониана $\hat{H}$ и его собственные функции $\left\lvert n \right\rangle$ нумеруются целым индексом $n\ge1$. Известно, что $\varepsilon_n=n^2$, и существуют операторы $a$ и $a^+$, такие, что
\begin{eqnarray*}a^+ \left\lvert n \right\rangle &=& \sqrt{n+1}\left\lvert n+1 \right\rangle\\
a\left\lvert n \right\rangle&=&\sqrt{n}\left\lvert n-1 \right\rangle\end{eqnarray*}
Найти гамильтониан системы.

Ответ $\hat{H}=a^+aa^+a$

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 02:16 
Аватара пользователя
М.б. $n\ge 0$? Иначе
$a|n\rangle= \sqrt{n}|n-1\rangle$ не имеет смысла при $n=1$.

(Оффтоп)

У Вас какой-то переумноженный LaTeX. пакет eqnarray устарел и багги. Используйте align из amsmath
http://tug.org/pracjourn/2006-4/madsen/madsen.pdf
Ларс Мэдсен—очень серьезный разработчик

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 03:08 
Аватара пользователя
Спасибо! (два раза). А добавка $|0\rangle= 0$ спасет предводителя?

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 03:18 
Аватара пользователя
amon в сообщении #944707 писал(а):
А добавка $|0\rangle= 0$ спасет предводителя?

Ну да! Будет же $0$ во втором равенстве и $|-1\rangle $ нам не нужен. Можно, конечно, уточнить, что второе равенство задано для $n\ge 1$, и просто $0$ при $n=0$

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 03:22 
Аватара пользователя
А под решением понимается проверить, что $\hat H-a^+aa^+a=0$, поскольку он равен нулю на всех векторах собственного базиса $\hat H$?

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 04:29 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #944713 писал(а):
А под решением понимается проверить, что $\hat H-a^+aa^+a=0$, поскольку он равен нулю на всех векторах собственного базиса $\hat H$?

Предполагается, что ответ неизвестен, поэтому $a^+aa^+a$ надо сначала найти/угадать. Решение (мое, не обязательно правильное) приведу чуть позднее, что бы все кучно лежало.

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 04:34 
Аватара пользователя
Ну вроде как человеку, который хоть раз видел эти буковки, должно быть известно, что $a^+a|n\rangle=n|n\rangle$. А если неизвестно, то это все равно простейший самосопряженный оператор, который можно составить из этих $a^+$ и $a$. Догадаться, что получить $n^2$ из $n$ можно возведением в квадрат, думаю, тоже несложно.

 
 
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 04:42 
Аватара пользователя
Принято.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group