Задачка про гамильтониан (кв. мех.)

[amon]

Навеяно вот этим.
Это - полуфабрикат. Выставлен с целью конструктивной критики (может где было, может слишком просто, может с ошибкой...). Приветствуются замечания, исправления, улучшения и проч. и проч. и проч.

Собственные значения $\varepsilon_n$ некоторого гамильтониана $\hat{H}$ и его собственные функции $\left\lvert n \right\rangle$ нумеруются целым индексом $n\ge1$. Известно, что $\varepsilon_n=n^2$, и существуют операторы $a$ и $a^+$, такие, что
\begin{eqnarray*}a^+ \left\lvert n \right\rangle &=& \sqrt{n+1}\left\lvert n+1 \right\rangle\\ a\left\lvert n \right\rangle&=&\sqrt{n}\left\lvert n-1 \right\rangle\end{eqnarray*}
Найти гамильтониан системы.

Ответ $\hat{H}=a^+aa^+a$

[Red_Herring]

М.б. $n\ge 0$? Иначе
$a|n\rangle= \sqrt{n}|n-1\rangle$ не имеет смысла при $n=1$.

(Оффтоп)

У Вас какой-то переумноженный LaTeX. пакет eqnarray устарел и багги. Используйте align из amsmath
http://tug.org/pracjourn/2006-4/madsen/madsen.pdf
Ларс Мэдсен—очень серьезный разработчик

[amon]

Спасибо! (два раза). А добавка $|0\rangle= 0$ спасет предводителя?

[Red_Herring]

amon в сообщении #944707 писал(а):

А добавка $|0\rangle= 0$ спасет предводителя?

Ну да! Будет же $0$ во втором равенстве и $|-1\rangle $ нам не нужен. Можно, конечно, уточнить, что второе равенство задано для $n\ge 1$, и просто $0$ при $n=0$

[g______d]

А под решением понимается проверить, что $\hat H-a^+aa^+a=0$, поскольку он равен нулю на всех векторах собственного базиса $\hat H$?

[amon]

g______d в сообщении #944713 писал(а):

А под решением понимается проверить, что $\hat H-a^+aa^+a=0$, поскольку он равен нулю на всех векторах собственного базиса $\hat H$?

Предполагается, что ответ неизвестен, поэтому $a^+aa^+a$ надо сначала найти/угадать. Решение (мое, не обязательно правильное) приведу чуть позднее, что бы все кучно лежало.

[g______d]

Ну вроде как человеку, который хоть раз видел эти буковки, должно быть известно, что $a^+a|n\rangle=n|n\rangle$. А если неизвестно, то это все равно простейший самосопряженный оператор, который можно составить из этих $a^+$ и $a$. Догадаться, что получить $n^2$ из $n$ можно возведением в квадрат, думаю, тоже несложно.

[amon]

Принято.