2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3859
ФТИ им. Иоффе СПб
Навеяно вот этим.
Это - полуфабрикат. Выставлен с целью конструктивной критики (может где было, может слишком просто, может с ошибкой...). Приветствуются замечания, исправления, улучшения и проч. и проч. и проч.

Собственные значения $\varepsilon_n$ некоторого гамильтониана $\hat{H}$ и его собственные функции $\left\lvert n \right\rangle$ нумеруются целым индексом $n\ge1$. Известно, что $\varepsilon_n=n^2$, и существуют операторы $a$ и $a^+$, такие, что
\begin{eqnarray*}a^+ \left\lvert n \right\rangle &=& \sqrt{n+1}\left\lvert n+1 \right\rangle\\
a\left\lvert n \right\rangle&=&\sqrt{n}\left\lvert n-1 \right\rangle\end{eqnarray*}
Найти гамильтониан системы.

Ответ $\hat{H}=a^+aa^+a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9405
Hogtown
М.б. $n\ge 0$? Иначе
$a|n\rangle= \sqrt{n}|n-1\rangle$ не имеет смысла при $n=1$.

(Оффтоп)

У Вас какой-то переумноженный LaTeX. пакет eqnarray устарел и багги. Используйте align из amsmath
http://tug.org/pracjourn/2006-4/madsen/madsen.pdf
Ларс Мэдсен—очень серьезный разработчик

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 03:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3859
ФТИ им. Иоффе СПб
Спасибо! (два раза). А добавка $|0\rangle= 0$ спасет предводителя?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 03:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9405
Hogtown
amon в сообщении #944707 писал(а):
А добавка $|0\rangle= 0$ спасет предводителя?

Ну да! Будет же $0$ во втором равенстве и $|-1\rangle $ нам не нужен. Можно, конечно, уточнить, что второе равенство задано для $n\ge 1$, и просто $0$ при $n=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 03:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5604
А под решением понимается проверить, что $\hat H-a^+aa^+a=0$, поскольку он равен нулю на всех векторах собственного базиса $\hat H$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 04:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3859
ФТИ им. Иоффе СПб
g______d в сообщении #944713 писал(а):
А под решением понимается проверить, что $\hat H-a^+aa^+a=0$, поскольку он равен нулю на всех векторах собственного базиса $\hat H$?

Предполагается, что ответ неизвестен, поэтому $a^+aa^+a$ надо сначала найти/угадать. Решение (мое, не обязательно правильное) приведу чуть позднее, что бы все кучно лежало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 04:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5604
Ну вроде как человеку, который хоть раз видел эти буковки, должно быть известно, что $a^+a|n\rangle=n|n\rangle$. А если неизвестно, то это все равно простейший самосопряженный оператор, который можно составить из этих $a^+$ и $a$. Догадаться, что получить $n^2$ из $n$ можно возведением в квадрат, думаю, тоже несложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка про гамильтониан (кв. мех.)
Сообщение12.12.2014, 04:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3859
ФТИ им. Иоффе СПб
Принято.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group