Экстремум функции 2 переменных

[Lapana]

Здравствуйте. Нужно найти экстремум функции $g=xy^2\ln{\frac x y}\ln{xy}$
Посчитала частные производные, решила систему и нашла "подозрительные точки" $(1,1)$ и $(e^\frac 2 3 , e^{\frac{-4}{3}})$
Но для точки $(1,1)$ второй дифференциал - вырожденная квадратичная форма, как тогда выяснить есть ли экстремум или нет?

[мат-ламер]

Lapana в сообщении #943903 писал(а):

Но для точки $(1,1)$ второй дифференциал - вырожденная квадратичная форма, как тогда выяснить есть ли экстремум или нет?

Возьмите собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, и посмотрите, что там вдоль него делается. Т.е. рассмотрите одномерную задачу оптимизации.

[patzer2097]

Есть разные способы.

1. Найти ограничение третьего дифференциала на ядро второго дифференциала и продолжать исследование стандартными методами.
2. Найти значения $g(1,1)$, $g(1,1+\varepsilon)$, $g(1+\varepsilon,1)$ и записать ответ.

Можете выбрать тот, который Вам больше нравится.

[Red_Herring]

patzer2097, мат-ламер
Ваши советы были бы полезны, если бы

Lapana в сообщении #943903 писал(а):

для точки $(1,1)$ второй дифференциал - вырожденная квадратичная форма,

Lapana,
очевидно Вы дифференцировали—и ошиблись. Смотрим по-простому: в этой точке два логарифмических сомножителя обращаются в $0$, поэтому по модулю 3го порядка Ваша ф-я $1\cdot 1 \cdot (\ln x -\ln y) (\ln x+ \ln y)\equiv (\xi-\eta)(\xi+\eta)=\xi^2-\eta^2$ с $\xi=x-1$, $\eta=y-1$. Ну и где же вырожденная форма?

[Lapana]

Red_Herring в сообщении #944024 писал(а):

patzer2097, мат-ламер
Ваши советы были бы полезны, если бы

Lapana в сообщении #943903 писал(а):

для точки $(1,1)$ второй дифференциал - вырожденная квадратичная форма,

Lapana,
очевидно Вы дифференцировали—и ошиблись. Смотрим по-простому: в этой точке два логарифмических сомножителя обращаются в $0$, поэтому по модулю 3го порядка Ваша ф-я $1\cdot 1 \cdot (\ln x -\ln y) (\ln x+ \ln y)\equiv (\xi-\eta)(\xi+\eta)=\xi^2-\eta^2$ с $\xi=x-1$, $\eta=y-1$. Ну и где же вырожденная форма?

О, Вы, действительно, правы, я ошиблась при дифференцировании. Тем не менее этот вопрос меня все равно интересует.

[patzer2097]

Red_Herring в сообщении #944024 писал(а):

patzer2097, мат-ламер Ваши советы были бы полезны

а что не так с моим советом №2, я предложил заметить, что $g(1,1)=0$, $g(1,1+\varepsilon)<0$, $g(1+\varepsilon,1)>0$ и обойтись без вычислений вообще

[Red_Herring]

Lapana в сообщении #944036 писал(а):

Тем не менее этот вопрос меня все равно интересует.

Какой вопрос? Что делать в случае вырожденной квадратичной формы? А конкретнее—хотите ли Вы определить будет ли локальный экстремум или как ведут себя линии уровня (что м.б. гораздо сложнее). Но даже ответ на первый вопрос связан с рассмотрением разных вариантов и не зная Вашего уровня отвечать затруднительно

-- 10.12.2014, 15:57 --

patzer2097 в сообщении #944055 писал(а):

а что не так с моим советом №2

Oставляет ТС в заблуждении по поводу квадратичной формы.

[patzer2097]

Red_Herring в сообщении #944058 писал(а):

Oставляет ТС в заблуждении по поводу квадратичной формы.

он касался решения задачи, а не заблуждений ТС