О числах, состоящих из одних единиц.

[grizzly]

Interesno в сообщении #941224 писал(а):

Предпоследняя цифра всегда чётная, не равна единице. Это следует из того, что при перемножении двух любых цифр из 1,3,7,9 предпоследняя цифра четная.

Этого рассуждения явно недостаточно. Выглядит так, будто Вы приняли на веру совет от provincialka и им же ей и ответили :)

Я бы рассуждал примерно так: поскольку в произведении есть все варианты перестановок цифр, то любые пары последний цифр $ab$ участвует в наборе со своим зеркальным отражением $ba$. Для любой такой пары можно проверить в общем виде, что их произведение даст чётную предпоследнюю цифру. Следовательно, мы свели задачу к такой, где перемножаются все числа с чётной предпоследней цифрой и нечётной последней. Это всегда даст чётную предпоследнюю -- тоже легко проверяется в общем виде. Примерно так я понял совет от provincialka

Interesno
Всё это и имелось в виду в Вашем кратком ответе? или есть более простое рассуждение, до которого я не додумался?

[provincialka]

grizzly, там достаточно учесть количество сомножителей, на пары разбивать не нужно. Но что имел в виде ТС - я не знаю: мое рассуждение более подробное.

[grizzly]

provincialka в сообщении #941252 писал(а):

grizzly, там достаточно учесть количество сомножителей

Да, конечно. Важно, что их там чётное количество. Я просто пошёл по первому попавшемуся пути и он оказался относительно коротким :)
Но без первичной подсказки не сообразил.

[Interesno]

Ну вот зачем было приводить решение ? Сказали бы "А поподробнее?", все ваши рассуждения привёл.
Разбиваем $n!$ на пары чисел, пары, соответственно, перемножаем, в каждой паре последняя цифра нечётная, предпоследняя чётная. И дальше элементарно.

Но всё равно всем спасибо и до свидания!

[Evgenjy]

Рассмотрим две последние цифры.

Interesno в сообщении #941073 писал(а):

Максимум, которого я добился - среди цифр нет 2, 4, 5, 6, 8, 0.

Существует степень $k<50$ двузначного числа, состоящего из цифр $1, 3, 7, 9$, которая оканчивается на $01$. Сомножителей, которые оканчиваются на это двузначное число, всего $(n-2)!$. Степень $k$ является делителем $(n-2)!$ (при достаточно большом $n$). Таким образом получаем, что все произведение должно оканчиваться на $01$.

[provincialka]

Evgenjy, вроде, задачу уже решили? И более скромными средствами.

[Evgenjy]

provincialka в сообщении #942696 писал(а):

Evgenjy, вроде, задачу уже решили? И более скромными средствами.

Не совсем. В решении есть слова

Evgenjy в сообщении #942448 писал(а):

(при достаточно большом $n$)

Оценку для $k$ можно снизить и показать, что $20$-я степень указанных двузначных чисел оканчивается на $01$. Но в этом случае задача остается нерешенной для $2<n<7$.

[provincialka]

Что "не совсем"? Не надо никаких $k$. Уже доказано, что предпоследняя цифра всегда четная. Или вы какую-то свою задачу решаете?

[silver]

Кстати, есть еще интересная олимпиадная задачка: Найти сумму всех трехзначных чисел, составленных из нечетных цифр.
Интересная тем, что найдя обобщенную формулу для этих условий, можно не останавливаться на достигнутом, и продолжать обобщать.
В конце концов получится:

Дано множество цифр, найти сумму всех возможных N значных(разрядных) чисел составленных из этих цифр. В любой системе счисления.
Ответ: Сумма = $S*C^{N-1}* 111...1$
Где S - сумма цифр в заданном множестве.
C - количество цифр в заданном множестве
N- число разрядов в числах.
111...1 - N разрядное число состоящее из одних единиц.

Например даны цифры: ${7,8}$
$(7+8)*2*11 = 77+78+87+88$

[Lia]

silver

(Оффтоп)

Исправьте формулы, иначе Вам придется делать это в Карантине. У Вас 40 минут.
Upd Спасибо. На будущее. Единичные символы типа $S$ и числа тоже необходимо оформлять как формулы. Знак умножения, там где без него нельзя обойтись, пишется так \cdot