Интерпретация сигнатуры

[Zlak]

Помогите, пожалуйста, с задачей:
Определить интерпретации сигнатурных символов теории арифметики Пеано так, чтобы моделью теории Тp стала система с носителем: $ \mathbb{N}\cup\{a\}$, где $ a \notin \mathbb{N}$.
В качестве сигнатуры я беру $ \Sigma = \left < 0, S, +, *, =, \angle\right>$. Надо так ее интерпретировать, чтобы для универса $ U = \mathbb{N}\cup\{a\}, a \notin \mathbb{N}$ были истинными нелогические аксиомы теории арифметики Пеано, в качестве которых я беру следующие 9:
1) $ \neg \left ( S(x)=0\right )$;
2) $ S(x)=S(y) \to x=y $;
3) $ x+0=x$;
4) $ x+S(y)=S(x+y) $;
5) $ x*0=0$;
6) $ x*S(y)=(x*y)+x$;
7) $ \neg \left ( x \angle 0 \right )$;
8) $ x \angle S(y) \leftrightarrow (x \angle y) \lor (x=y)$;
9) $ A_x[0] \land \forall x \left (A \to A_x[S(x)] \right ) \to A $.
Я так понимаю, что для натуральных $ x \in U $ интерпретация остается стандартной, а для ненатурального $ a $ мне надо доопределить S, умножение, сложение, равенство и "быть больше". Верно? Т.е. добавить конечное число аксиом с участием этого $ a $... Или я уже совсем не туда?
В любом случае, мысли какие-то витают, только ухватить не могу, подтолкните, плз....

[Zlak]

Сначала я было подумал взять это самое не натуральное $a$ в качестве нулевого элемента и наложить на него условие, что оно - самое маленькое в универсе, т.е. $ 0 \to a $ и $ a<x, \forall x \in U \cap N $.
Тогда у меня получились выполнимыми все аксиомы от 1) до 8), кроме 2): $ x=a, y=0: S(a)=a+1=1, S(0)=0+1=1 $, получается что $a=0$, что не вяжется с условием наименьшего элемента...
Подскажите, пожалуйста, правильное направление... Или ссылку на пример подобного построения, а то как читаешь теорию - вроде все понятно, а на практике - что делать?...
А как доказывать истинность 9), которая вообще схема аксиом - вообще непонятно...

[Профессор Снэйп]

Не получится у Вас ничего. Причину Вы верно подметили: для каждого элемента существует не равный ему последователь (можно также показать, что для не нулевого существует ещё и предшественник). Так что если в модели есть хотя бы один нестандартный элемент, то их обязательно будет бесконечно много.

Модели с одним нестандартным элементом для другой системы аксиом строят, которая в Ершове-Палютине. Ваш вариант пеановской арифметики совершенно не такой. К тому же ещё и со схемой индукции. Боюсь, что с девятой схемой аксиом Вы вообще никакую нестандартную модель не сможете в явном виде построить (несмотря на то, что они существуют и их много).

[lofar]

Требуется ли чтобы ограничение искомой интерпретации на $\mathbb N$ совпадало с естественной интерпретацией? Если этого не нужно, то полагаем $S(a)=0$, $S(0)=1$, $S(1)=2$, и т. д. $a*a=a$, $a*0=a$, $a*1=a$, и т. д. То есть берем стандартную интерпретацию на $\mathbb N$ и переносим ее на $\mathbb N\cup\{a\}$ посредством биекции $a\to 0$, $0\to 1$, $1\to 2$, ... Получится стандартная модель.

Профессор Снэйп писал(а):

Боюсь, что с девятой схемой аксиом Вы вообще никакую нестандартную модель не сможете в явном виде построить (несмотря на то, что они существуют и их много).

Простите, а разве приведенная аксиоматика не категорична? Вроде бы нестандартные модели появляются лишь в отсутствие аксиомы индукции.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Требуется ли чтобы ограничение искомой интерпретации на $\mathbb N$ совпадало с естественной интерпретацией? Если этого не нужно, то полагаем $S(a)=0$, $S(0)=1$, $S(1)=2$, и т. д. $a*a=a$, $a*0=a$, $a*1=a$, и т. д. То есть берем стандартную интерпретацию на $\mathbb N$ и переносим ее на $\mathbb N\cup\{a\}$ посредством биекции $a\to 0$, $0\to 1$, $1\to 2$, ... Получится стандартная модель.

То есть Вы предлагаете построить на носителе $\mathbb{N} \cup \{ a \}$ модель, изоморфную стандартной. А зачем? Ясно, что это можно сделать (как и на любом другом счётном носителе), но, полагаю, автору темы требовалось совсем не то.

lofar писал(а):

Простите, а разве приведенная аксиоматика не категорична? Вроде бы нестандартные модели появляются лишь в отсутствие аксиомы индукции.

Ну что Вы Нет, конечно

Не только не категорична, но даже не полна. Причём, по теореме Гёделя, эффективно не пополняема!!!

Впрочем, даже если взять произвольное (не эффективное) пополнение этой системы аксиом (например, элементарную теорию арифметики), то полученная теория всё равно не будет категоричной в счётной мощности. Нестандартные модели появляются ВСЕГДА

[lofar]

Да, Профессор Снэйп, Вы правы. Спутал 9-ю схему аксиом с аксиомой индукции 2-го порядка (той, что с предикатной переменной).