Дифференцируемая функция

[Terraniux]

$\mathbf{1.}$ Существует ли функция $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, дифференцируемая во всех рациональных точках, и недифференцируемая в иррациональных?
$\mathbf{2.}$ Пусть $A,B$ несчетные всюду плотные подмножества $\mathbb{R}$, такие, что $A\cup B = \mathbb{R}$. Для любых ли таких множеств существует функция, дифференцируемая во всех точках множества $A$, и недифференцируемая во всех точках множества $B$?

[Nemiroff]

Не похоже на олимпиадную задачу, похоже на факт, к которому нужно применить какую-нибудь теорему. Типа такой: http://en.wikipedia.org/wiki/Zahorski_theorem

[Terraniux]

Nemiroff в сообщении #941329 писал(а):

Не похоже на олимпиадную задачу, похоже на факт, к которому нужно применить какую-нибудь теорему. Типа такой: http://en.wikipedia.org/wiki/Zahorski_theorem

Первая задача - из сборника А.Я. Белова.

[Nemiroff]

Terraniux в сообщении #941432 писал(а):

Первая задача - из сборника А.Я. Белова.

Мне, честно говоря, это ничего не говорит.
Можно какой-то ряд выдумать $\sum_{n=1}^\infty n^{-2}\cos(\pi n! x)$

[Terraniux]

Nemiroff в сообщении #942388 писал(а):

Terraniux в сообщении #941432 писал(а):

Первая задача - из сборника А.Я. Белова.

Мне, честно говоря, это ничего не говорит.
Можно какой-то ряд выдумать $\sum_{n=1}^\infty n^{-2}\cos(\pi n! x)$

Это пример функции, дифференцируемой в рациональных точках, и не дифференцируемой в иррациональных?

[Nemiroff]

Terraniux в сообщении #942791 писал(а):

Это пример функции, дифференцируемой в рациональных точках, и не дифференцируемой в иррациональных?

Похоже на то.

[sup]

Хм, а она действительно в рациональных точках дифференцируема?
Почленное дифференцирование дает 0 для всех слагаемых (кроме конечного числа). Но это формальное почленное дифференцирование.
Неужели можно показать, что в рациональных точках существует предел

$$\lim \limits_{h \to 0}\sum_{n > n_0}^\infty \frac {\cos(\pi n! h) - 1}{n^2h}$$

[Terraniux]

sup в сообщении #942863 писал(а):

Почленное дифференцирование дает 0 для всех слагаемых (кроме конечного числа).

Ряд из производных расходится же?

[sup]

У меня простой вопрос. Дифференцируема ли указанная функция в рациональных точках? Я рассмотрел классическое определение производной в точке и ничего хорошего не получил. Но может у кого-то другого получится?