Предельные точки

[main.c]

На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фиксированной её точки поворотом окружности на всевозможные углы в $n \in Z$ радиан. Укажите все предельные точки построенного множества.

Очевидно, что все точки окружности являются предельными. Это тоже самое, что все точки $R$ являются предельными для $Q$. Но несмотря на очевидность, я не могу строго это обосновать. Могу лишь доказать, что построенное множество $M$ - бесконечно, так как в противном случае число $\pi$ было бы рациональным. Но это не доказывает, что все эти точки не тусуются в окрестности конечного числа точек окружности. В идеале хотелось бы по заданному углу $\varphi \in [0, 2\pi]$ для любой $\varepsilon$-окрестности указать такое подмножество точек из $M$, что все они лежат в данной окрестности.

[gris]

Можно попробовать перейти к синусу натурального числа, если это проще. Или не проще?

[Brukvalub]

Достаточно принципа Дирихле, или простейшей теории цепных дробей.

[main.c]

gris в сообщении #942520 писал(а):

Можно попробовать перейти к синусу натурального числа, если это проще. Или не проще?

Не совсем понимаю, что Вы имели ввиду.

Brukvalub в сообщении #942523 писал(а):

Достаточно принципа Дирихле, или простейшей теории цепных дробей.

Наверное да, можно и так решить, но мне кажется, что можно решить как-нибудь проще.

[Null]

Напишите определение предельной точки, а то вы похоже не то доказываете.

[main.c]

Null в сообщении #942545 писал(а):

Напишите определение предельной точки, а то вы похоже не то доказываете.

Предельная точка множества $A$ - это точка в любой окрестности которой существует хотя бы одна точка множества $A$. Почему Вы решили, что я доказываю не то?

-- 08.12.2014, 19:09 --

А, кажется понял Вас, думал об одном, а написал не совсем то. Достаточно доказать, что любая окрестность точки $x \in [0, 1)$ содержит хотя бы одну точку множества $B = \{n - 2\pi k : n, k \in Z\} $.

[main.c]

Хммм, никак не получается. С виду вроде очевидное утверждение, а оказывается нет. Может есть какая-то теорема, что любая окрестность точки $x \in [0, 1)$ содержит хотя бы одну точку множества $B = \{n - \alpha k \mid n, k \in Z\}$ , где $\alpha \in I$?

[gris]

main.c в сообщении #942543 писал(а):

Не совсем понимаю, что Вы имели ввиду.

Я просто помню свойство периодической непрерывной функции с иррациональным периодом. Её значения в целых точках всюду плотны в области значений. Ну и синус туда же. А где синус, там и угол. Хотя и угол сам по себе тоже функция самого себя. Не помню, как доказывается Может быть, в общем виде и проще?

[provincialka]

Brukvalub в сообщении #942523 писал(а):

или простейшей теории цепных дробей.

main.c, вы знаете, что такое "наилучшие приближения"?

[main.c]

provincialka в сообщении #942658 писал(а):

Brukvalub в сообщении #942523 писал(а):

или простейшей теории цепных дробей.

main.c, вы знаете, что такое "наилучшие приближения"?

Нет - не знаю. Поэтому я и хочу попробовать решить данную задачу без привлечения дополнительных, незнакомых теорий. Не потому, что не хочу узнать что-то новое, а потому, что это задача из Зорича, после параграфа "Предел последовательности". Насколько я понимаю, задачи, которые идут после теории опираются на данный и предыдущие параграфы. Но видимо без цепных дробей тут не обойтись, да?

[provincialka]

Не могу сказать. Я знаю только это решение: оно очень естественное.

[ex-math]

Не надо никаких цепных дробей. Теорема Дирихле о рациональном приближении, следует из принципа ящиков. Ну и чуть-чуть подумать, как это сюда применить. Кстати, на форуме эта задача и ее решение много раз обсуждались.

[provincialka]

ex-math, точно, я это и имела в виду. Цепные дроби используются только для доказательства факта, но можно обойтись и без них.
А вот можно ли вообще обойтись без наилучших (ну, или "достаточно хороших") приближений - это я не знаю. Собственно, само доказываемое утверждение по сути и сводится к их существованию.

[ex-math]

(Оффтоп)

provincialka
Просто я эти цепные дроби почему-то не люблю. И как-то всегда удавалось обходиться без них. Например, принято считать, что они тесно связаны с уравнением Пелля, но соответствующая теория прекрасно строится и без цепных дробей. Плучается и проще, и изящнее.

[provincialka]

(Оффтоп)

А мне они понравились. Я этим летом о них детишкам рассказывала. Но, конечно, всего лишь для вывода одного соотношения углубляться в эту теорию - это уж излишество.