Написать уравнение прямой

[fronnya]

Напмсать уравнение прямой, проходящей через точку $A(-1,-1)$ и под углом $\pi/4$ к прямой $3x-y+2=0$
Все, до чего я додумался:
написал выражение для угла между прямыми

$$\cos\varphi=\frac{A_1A_2+B_1B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$$

В частности

$$\cos\varphi=\frac{3A_1-B_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{10}}$$

А ещё вот:

$$\frac{x+1}{l}=\frac{y+1}{m}$$

, где $l$ и $m$- координаты направляющего вектора искомой прямой. Что тут ещё можно сделать ?

-- 08.12.2014, 20:09 --

Ещё я обнаружил, что точка $A$ принадлежит прямой $3x-y+2=0$

[Ms-dos4]

Ну, угол есть. Теперь ещё уравнение для точки $\[ - {A_1} - {B_1} + C = 0\]$

Вот и решайте систему

[fronnya]

Проверьте, пожалуйста, я поступил иначе, можно ли так :
уравнение прямой записал таким образом:

$$y=3x+2$$

а уравнение искомой прямой

$$y_2=k_2x+b_2$$

Пишем выражение для угла между ними и находим $k_2=1$, в теории $b_2$ выражается так $b_2=y'-kx'$ где штрихованные координаты- и есть координаты точки $A$, тогда находим $b_2=0$ и получается, что $y_2=x$. Может где- то в расчетах ошибся, но подход нормальный или где- то ошибка ?

[provincialka]

В подсчетах точно ошибка: сделайте проверку. Там получается два ответа (естественно, ведь угол можно отложить в две стороны). Может, приведете свои уравнения?

[fronnya]

provincialka в сообщении #942660 писал(а):

В подсчетах точно ошибка: сделайте проверку. Там получается два ответа (естественно, ведь угол можно отложить в две стороны). Может, приведете свои уравнения?

Какие мои уравнения? Вы имеете в виду, чтобы я здесь подробно написал расчеты ?

[provincialka]

Не все расчеты. Только уравнения(е), которое описывает условие задачи.

[Ms-dos4]

fronnya
Первое уравнение - уравнение для угла, второе - для точки.
Вот и есть система
$\[\left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}\\ {A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3{A_1} - {B_1}}}{{\sqrt {10} \sqrt {A_1^2 + B_1^2} }}\\ - {A_1}x - {B_1}y + {C_1} = 0 \end{array} \right.\]$
Решайте её. В ответе будет 2 возможные прямые.
P.S.Странно, что это вызывает у вас проблемы, вы вроде бы к университету основательно готовились

[12d3]

Напишите, как вы нашли $k_2$, ибо оно неправильное.

[redicka]

fronnya, воспользуйтесь формулой тангенса суммы двух углов.Без всяких систем.

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #942665 писал(а):

P.S.Странно, что это вызывает у вас проблемы, вы вроде бы к университету основательно готовились

Все, что я успел пройти- это векторы, с ними- то проблем и нету . Я, кстати не очень понял, откуда вы взяли $-A_1x-B_1y+C_1=0$
Пересчитал по методу, который я привел выше. Пусть $y_1=k_1x+b_1$- искомое уравнение прямой, а под углом в 45 градусов эта прямая пересекает прямую $y_2=k_2x+b_2$ В частности $k_2=3, b=2$. Теперь составляю выражения для угла между этими прямыми через угловые коэффициенты:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$

пользуясь данными задачи:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3-k_1}{1+3k_1 }$$

откуда получаю $k=\frac {\sqrt{2}+3}{3\sqrt{2} -1}$, осталось лишь найти $b_1$. Его найдем из условия, что искомая прямая проходит через точку $A(-1;-1)$: $b_1=y'-k_1x'$ где $y'=-1, x'=-1$. $b_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}$ Тогда

$$y_1=\frac {\sqrt{2}+3}{3\sqrt{2} -1}x+\frac{4-2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}-1}$$

Странный ответ

[Ms-dos4]

fronnya
Откуда откуда. Уравнение прямой на плоскости это $\[{A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0\]$. Тогда если она проходит через точку $\[( - 1, - 1)\]$, то эти координаты удовлетворяют её уравнению. Вот и получается $\[ - {A_1} - {B_1} + {C_1} = 0\]$. Вообще в таких задачах НЕ НУЖНО думать. Надо тупо решать самым что ни на есть прямым способом. Так что решайте ту систему и не делайте себе проблем

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #942680 писал(а):

fronnya
Откуда откуда. Уравнение прямой на плоскости это $\[{A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0\]$. Тогда если она проходит через точку $\[( - 1, - 1)\]$, то эти координаты удовлетворяют её уравнению. Вот и получается $\[ - {A_1} - {B_1} + {C_1} = 0\]$. Вообще в таких задачах НЕ НУЖНО думать. Надо тупо решать самым что ни на есть прямым способом. Так что решайте ту систему и не делайте себе проблем

аааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа.... сейчас попробую.

[provincialka]

Вот, не успела! А у человека все было почти хорошо:
Банальная счетная ошибка. fronnya, вы записали тангенс разности, а приравняли его к косинусу $\pi/4$. Тангенс равен 1. Или -1, если откладывать угол в другую сторону.

[fronnya]

provincialka в сообщении #942682 писал(а):

Вот, не успела! А у человека все было почти хорошо:
Банальная счетная ошибка. fronnya, вы записали тангенс разности, а приравняли его к косинусу $\pi/4$. Тангенс равен 1. Или -1, если откладывать угол в другую сторону.

То, есть мой метод нормальный? Аааа, я понял. Получается два значения для $k$. $k_1=1$ и $k_1=-2$. Как я мог приравнять к косинусу.. Попутал с формулой для канонического уравнения. Так там векторы, а тут разность тангенсов. Я все понял.

[grizzly]

fronnya

Если где-то зацикливает, нужно иметь запасные варианты проверить себя другими методами.

Уравнение перпендикулярной прямой уже знаете? К Вашей прямой $y=3x+2$ через точку $(-1;1)$ перпендикулярной будет прямая $y=-1/3\cdot x - 4/3$. А нам требуется бисектриса(ы). Если нарисовать прямые на графике, то легко сразу заметить прямоугольные равнобедренные треугольники с вершинами в целочисленных координатах, уравнения бисектрис (медиан / высот) для которых легко считаются по целочисленным координатам двух точек.

Это всё писать / читать долго, а рисовать и решать не больше двух-трёх минут. И такие методы зачастую выводят из "творческого" тупика. Не поленитесь, сделайте график и постарайтесь после этого осознать совет от redicka -- не исключаю, что тогда его решение покажется наглядным и понятным, а может даже и красивым.

-- 08.12.2014, 23:57 --

fronnya в сообщении #942693 писал(а):

Получается два значения для $k$. $k_1=1$

А какой геометрический смысл первого решения? ещё одна ошибка?