Вычислить интеграл с помощью разложения в ряд

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: вычислить интеграл

$$\int\limits_{0}^{0.9} \sin(-2x^2+2) dx$$

с точностью $\epsilon=0.0001$, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно.

И вот тут я не понимаю -- разложение в какой точке нужно использовать?

Иначе говоря, я понимаю, как сделать подобный пример, если бы было, например

$$\int\limits_{0}^{0.9} \sin(-2x^2) dx$$

Но в данном случае, если в стандартном разложении для синуса в ряд Маклорена заменить $x$ на $-2x^2+2$, то получится же разложение в окрестности плюс/минус единицы...

Помогите, пожалуйста, прояснить данный вопрос.

Спасибо!

[provincialka]

Limit79 в сообщении #942563 писал(а):

о получится же разложение в окрестности плюс/минус единицы...

Почему? Выражение $-2x^2+2$ пробегает промежуток $[0,38;2]$ Да, числа великоваты. Но зато ряд для синуса сходится хорошо, и, теоретически, можно считать его для любого значения аргумента.
Но само разложение будет все равно "в окрестности нуля", только очень большой окрестности. Радиуса 2.

[nnosipov]

Синус суммы распишите, а уже потом Тейлором.

[provincialka]

nnosipov, я тоже сначала так подумала. Но тогда надо откуда-то брать $\sin 2$ и $\cos 2$ -- а это дополнительная головная боль.

[nnosipov]

По-моему. при численном интегрировании можно не обращать внимание на такие мелочи как абсолютные константы.

[Pphantom]

Limit79 в сообщении #942563 писал(а):

И вот тут я не понимаю -- разложение в какой точке нужно использовать?

По-видимому, в какой-то в пределах интервала интегрирования.

Limit79 в сообщении #942563 писал(а):

Но в данном случае, если в стандартном разложении для синуса в ряд Маклорена заменить $x$ на $-2x^2+2$, то получится же разложение в окрестности плюс/минус единицы...

Но Вас же никто не заставляет использовать стандартное разложение для синуса...

[Limit79]

provincialka в сообщении #942565 писал(а):

Почему?

Первый член ряда Маклорена для $f(x)=\sin(-2x^2+2)$ будет $\sin(2)$, если же использовать разложение $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (2-2x^2)^{2n+1}}{(2n+1)!}$, то первый член ряда будет $2$, значит, это какие-то разные ряды...

-- 08.12.2014, 20:48 --

Pphantom
А если мне очень рекомендуют использовать разложение синуса в ряд Маклорена, то нужно использовать ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (2-2x^2)^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ?

-- 08.12.2014, 20:56 --

А все таки разложение $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (2-2x^2)^{2n+1}}{(2n+1)!}$ не подходит, так как мне потом нужно интегрировать $(-2x^2+2)^{2n+1} dx$...

-- 08.12.2014, 21:01 --

В общем говоря, мне нужно сначала получить точное значение интеграла в виде ряда, а далее уже отбрасывать какие-либо члены, поэтому, видимо, придется раскладывать синус суммы и использовать два ряда (для синуса и для косинуса).

[provincialka]

Limit79 в сообщении #942585 писал(а):

так как мне потом нужно интегрировать $(-2x^2+2)^{2n+1} dx$...

Тут надо оценить $n$. Cделайте это. Если степень разумная - почему бы и не проинтегрировать? Открыть скобки и проинтегрировать.

Но можно сделать и как сказал nnosipov, только отдельно посчитайте (с помощью того же Маклорена?) $\sin 2,\cos 2$

[Limit79]

provincialka в сообщении #942595 писал(а):

Тут надо оценить $n$ сделайте это.

К сожалению, мне нужно сначала получить точное значение интеграла через ряд, а потом уже оценивать...

[provincialka]

nnosipov в сообщении #942579 писал(а):

По-моему. при численном интегрировании можно не обращать внимание на такие мелочи как абсолютные константы.

То есть их "разрешается" посчитать на калькуляторе? Тогда - только разложение.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #942600 писал(а):

То есть их "разрешается" посчитать на калькуляторе?

Да, с достаточной точностью. Главная задача --- уметь вычислять интеграл с заданной погрешностью $\varepsilon$, которая может меняться.