Максимальная поверхность при заданном объеме

[miriam]

Здравствуйте всем! А помогите определить: какая фигура имеет макс. площадь поверхности при заданном обьеме? вопрос возник из того, что эритроцит имеет форму двояковогнутого диска, при этом такая форма обеспечивает ему БОЛЬШУЮ поверхность... а какая форма дает фигуре максимальную площадь поверхности? (в интернете только есть инфа о шаре с минимальной площадью)

[gris]

Чисто математически при заданном объёме можно сделать тело с любой (больше минимальной) площадью поверхности. Биологический фактор, естественно, даёт определённые ограничения, но амёбы, например, запросто увеличивают площадь поверхности своего организма, устраивая разные выпячивания, складки, выросты и так далее. У эритроцитов кроме возможно большей площади поверхности критичен ещё один фактор: возможность пролезать в узкие капилляры и не застревать в них, легко деформироваться и не менее легко восстанавливать форму. Гладкость, уплощённость и вогнутость обеспечивают все эти цели.

[miriam]

С био. фактором понятно, но не понятно: как это при заданном обьеме можно любую площадь вплоть до бесконечности? объясните, пожалуйста

[Deggial]

miriam в сообщении #941319 писал(а):

как это при заданном обьеме можно любую площадь вплоть до бесконечности? объясните, пожалуйста

Попробуйте решить более простую задачу: доказать, что фигура фиксированной площади может иметь сколь угодно большой периметр. Возьмите ручку и листик, порисуйте. Можете вспомнить ещё другие биологические примеры - они Вам помогут.
Есть, кстати, определенный класс фигур с известным названием, у которых периметр бесконечен.

Физически это, естественно, невозможно, поскольку вещество сколь угодно мелко непрерывно не дробится.

[gris]

Ну по-кухонному. Возьмём кусок теста и начнём его...

[Evgenjy]

miriam в сообщении #941319 писал(а):

С био. фактором понятно, но не понятно: как это при заданном обьеме можно любую площадь вплоть до бесконечности? объясните, пожалуйста

Если бы составные атомы были одинаковыми кубиками со стороной $a$, то в объеме $V$ их было бы $V/a^3$. Если их составить в одну линейку, то 4 грани каждого кубика окажутся на поверхности. Площадь поверхности четырех граней $4a^2$. Тогда общая площадь поверхности будет $4V/a$ (там еще две грани, но это копейки). При очень маленьких $a$ площадь поверхности будет очень большой.

[Deggial]

Evgenjy, предупреждение за полное решение простой учебной задачи.

[Evgenjy]

Deggial в сообщении #941636 писал(а):

Evgenjy, предупреждение за полное решение простой учебной задачи.

Извините, я не подумал об этом. Я то хотел прокомментировать исходную задачу про эритроциты, а там задача о составлении двояковогнутых дисков. Максимальная площадь при заданном объеме (то к чему на форуме свели задачу) не отвечает первоначальной постановке.

[miriam]

Ой, спасибо! простите, мне просто нужно было сначала самой подумать, а как задала вопрос, начала сама догадываться. (Можно например цилиндр взять и начать его уплощать до "таблетки" при фиксир. обьеме и S поверхности будет возрастать и тоже можно все понять. Спасибо всем)

[Vitalich]

Я тоже задумался над решением этой простой задачи, как при минимальном объеме получить максимальную площадь поверхности. И пришел к выводу, что при минимальном количестве точек, а их будет три, можно провести только одну единственную плоскость. Если соединить все точки отрезками получим треугольник периметр которого будет определять площадь поверхности ограниченной этими отрезками. Если добавить к этой системе четвертую точку, лежащую вне этой плоскости, получим пирамиду. Чтобы получить минимальный объем при максимальной площади поверхности, нужно чтобы высота пирамиды стремилась к бесконечности. Т.е. фигура должна выглядеть в форме игл с треугольным основанием.

-- 08.12.2014, 12:55 --

Вот подумал и решил, что если вывернуть объем шара наизнанку, то получим минимальный объем при максимальной поверхности. Т.е. задача решается от обратного -- получение максимального объема при минимальной поверхности. Такими параметрами обладает шар. Когда вы покупаете арбуз, то просите надрезать его, чтобы убедится в его спелости. Если на шаре вырезать треугольный объем в виде пирамиды с вершиной в центре шара и вставить его обратно но вершиной в противоположную от центра, т.е. наружу и так проделаем со всей поверхностью шара, то получим что-то в виде ежика. Если площади вырезаемых треугольников на поверхности будут стремится к нулю, то сумма площадей поверхности треугольных пирамид будет стремится к бесконечности при заданном объеме. Природа такое свойство предусмотрела, снабдив животных шестью.

[Vitalich]

Редактирую: если вывернуть шар на изнанку, то получим заданный объем при максимальной поверхности.

[ИСН]

Vitalich, не несите ежей. При заданном объёме максимальная поверхность бесконечна, и приблизиться к ней можно бесчисленным множеством способов - вытягивая, уплощая, нарезая и т.д. Перечислять нет смысла.

[Vitalich]

Т.е. вы предлагаете просто покрошить объем и лишить его целостности. Но иголки на ели или листья на березе сами по себе жить не могут. В том то вся и суть получить целое с максимальной площадью поверхности. Да ладно, я понял, что вы хотите сказать, просто я хочу доказать какая фигура будет иметь максимальную поверхность. По моему это треугольная пирамида. Вот и все.

[provincialka]

Vitalich в сообщении #942400 писал(а):

я хочу доказать какая фигура будет иметь максимальную поверхность. По моему это треугольная пирамида.

Флаг вам в руки

(Оффтоп)

и электричку навстречу

[Vitalich]

Треугольник это исходная фигура из которых состоят все фигуры, вплоть до круга и его производных (элипсов). Разбивая любую фигуру на треугольники можно вычислить его площадь.