Арифметические операции с нулём и бесконечностью.

[Roll]

Добрый день.

Прошу прощения если мой вопрос покажется "глупым"

Помогите пожалуйста разобраться:

Насколько мне известно, любое число (константа) делённая на бесконечность – ноль
n/$\infty$=0, n – const
Любое число (включая бесконечность) умноженная на ноль – ноль
n*0=0, $\infty$*0=0
Тогда n/n=n*(1/n)= $\infty$*0=0, но n/n=1 (n=$\infty$)

[Gordmit]

Проводить арифметические операции с бесконечностью некорректно, т.к. бесконечность - не число.

Добавлено спустя 4 минуты 4 секунды:

Кстати, если еще выражению $\frac{1}{\infty}$ еще можно приписать значение 0 в смысле теории пределов (т.к. для любой последовательности $a_n$, стремящейся к $\infty$ при $n\to\infty$, будет $\frac{1}{a_n}\to 0$, $n\to\infty$) (и аналогично $\frac{1}{0}$), то уже выражениям $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$ и т.п. таким образом значение приписать не получится (подумайте, почему).

[Henrylee]

Roll писал(а):

n/$\infty$=0, n – const
n*0=0, $\infty$*0=0

Это Вы в рамках какой теории выполняете такие арифметические операции? И, кстати говоря, в чем вопрос-то заключается? Если вопрос в том, откуда берутся "противоречия", то вот и ответ: "оттуда же, откуда и подобные операции".

[Roll]

Gordmit писал(а):

Проводить арифметические операции с бесконечностью некорректно, т.к. бесконечность - не число.

Добавлено спустя 4 минуты 4 секунды:

Кстати, если еще выражению $\frac{1}{\infty}$ еще можно приписать значение 0 в смысле теории пределов (т.к. для любой последовательности $a_n$, стремящейся к $\infty$ при $n\to\infty$, будет $\frac{1}{a_n}\to 0$, $n\to\infty$) (и аналогично $\frac{1}{0}$), то уже выражениям $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$ и т.п. таким образом значение приписать не получится (подумайте, почему).

Спасибо за внимание к моему вопросу.

Что касается пределов и вариант, то тут понятно.
Меня интересовал случай именно с константами.

[нг]

$\infty$ бывает константой только в неклассических построениях.

[Roll]

Возникли еще вопросы:

Известно, что конечная сумма бесконечно малых - бесконечно малая величина.
А чему равна бесконечная сумма бесконечно малых величин ?
И чему равно произведение нуля (константы) на бесконечно большую величину ?

[PAV]

Бесконечная сумма бесконечно малых величин может быть любой величиной (в том числе может быть и не определена).

Произведение нуля (константы) на любую величину равно нулю.

[Gordmit]

Полагаю, Вам стоит изучить первый семестр классического курса мат. анализа, из которого Вы и узнаете ответы на эти и другие интересные вопросы, а также он поможет вам понять, что такое "бесконечно малая величина", "бесконечно большая величина" (соответственно, последний из вопросов отпадет автоматически). Зная это, Вы без труда построите примеры, когда 1) сумма бесконечного числа бесконечно малых величин - снова бесконечно малая величина, 2) сумма бесконечного числа бесконечно малых величин не является бесконечно малой величиной.

Также можно много интересного узнать о так называемых неопределенностях типа $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, которыми Вы интересуетесь.

[Roll]

Спасибо за Ваши ответы.

Gordmit Я сейчас как раз самостоятельно изучаю мат анализ по ИМХО замечательной книге Фихтенгольца. Но примера с бесконечной суммой бесконечно малых величин не нашел
Не могли бы Вы привести примеры когда эта сумма - бесконечно малая величина и наоборот.

[Brukvalub]

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{n^2 }} = } \bar \bar 0(1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n} = } 1 \\ \sum\limits_{k = 1}^{n^2 } {\frac{1}{n} \to \infty } \\ \end{array} \]

[Roll]

Brukvalub писал(а):

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{n^2 }} = } \bar \bar 0(1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n} = } 1 \\ \sum\limits_{k = 1}^{n^2 } {\frac{1}{n} \to \infty } \\ \end{array} \]

По моему это не удачный пример.
Здесь суммирование ведется по переменной велечине и получается, что сумма варианты сводится к другой варианте.
Например,

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{n^2 }} = } \bar \bar 0(1) != \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{n^2 }}\\ \end{array} \]

Так же можно написать

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n = \sum\limits_{k = 1}^{n^2 }=\infty \\ \end{array} \]

но

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{n^2 }} != \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n} \\ \end{array} \]

Под бесконечной суммой я имел ввиду сумму где количество элементов не есть варианта. Если это вообще корректно...

[Gordmit]

Roll писал(а):

Gordmit Я сейчас как раз самостоятельно изучаю мат анализ по ИМХО замечательной книге Фихтенгольца. Но примера с бесконечной суммой бесконечно малых величин не нашел
Не могли бы Вы привести примеры когда эта сумма - бесконечно малая величина и наоборот.

Мог бы. Может быть, с первым семестром я и погорячился, и на этом этапе пока рано задавать такие интересные вопросы , а может и нет. Впрочем, примеры вполне доступны для понимания, хотя их подробный анализ является частью раздела о функциональных рядах.

1) Пример, когда сумма бесконечного числа бесконечно малых снова бесконечно малая построить весьма легко. Возьмем $f_n(x)=x^n$, при любом $n\geqslant 1$ эта функция бесконечно малая при $x\to 0$. Их сумма: $x+x^2+\ldots+x^n+...=\frac{x}{1-x}$ снова б.м. при $x\to 0$.

2) Пример, когда сумма бесконечного числа бесконечно малых не есть бесконечно малая, чуть посложнее (хотя можно и попроще что-нибудь придумать, наверное, это просто первое, что в голову пришло): $f_1(x)=1-x$, $f_2(x)=x^2-x^3$, ..., $f_n(x)=x^{2n}-x^{2n+1}$, ... Все они бесконечно малые при $x\to1$, но их сумма
$(1-x)+(x^2-x^3)+...=\frac{1}{1+x}\to\frac12$, $x\to 1$, т.е. не бесконечно малая.

[Roll]

Gordmit, спасибо.

Сумма бесконечного числа бесконечно малых не есть бесконечно малая только когда эта сумма - функциональный ряд ?

Сумма бесконечного числа "одной и той же" бесконечно малой всегда бесконечно малая ?

[Gordmit]

Roll писал(а):

Сумма бесконечного числа бесконечно малых не есть бесконечно малая только когда эта сумма - функциональный ряд ?

Вообще-то, "сумма бесконечного числа бесконечно малых" это то же самое, что "функциональный ряд (из бесконечно малых)", т.к. бесконечно малая - это некоторая функция (или последовательность), стремящаяся к 0 по заданной базе (например, $x\to 0$, $n\to\infty$ и т.п.). В мат. анализе доказывается теорема, что если данный функциональный ряд из непрерывных функций $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ сходится равномерно в некоторой окрестности точки $x_0$, то

$$\lim_{x\to x_0}\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\lim_{x\to x_0}f_n(x)\right).$$

В частности, при этом условии ряд из бесконечно малых снова бесконечно малая.
(Аналог этой теоремы имеет место и для других баз.)

Roll писал(а):

Сумма бесконечного числа "одной и той же" бесконечно малой всегда бесконечно малая ?

Если эта бесконечно малая не 0, то ряд просто расходится. Так что в этом случае их сумма не определена.

[Roll]

Gordmit писал(а):

Roll писал(а):

Сумма бесконечного числа "одной и той же" бесконечно малой всегда бесконечно малая ?

Если эта бесконечно малая не 0, то ряд просто расходится. Так что в этом случае их сумма не определена.

Например, этот ряд

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{n }} \\ n\to 0 \end{array} \]

как я понимаю расходится ?