Инвариантность физических уравнений

[Padawan]

Sicker в сообщении #941431 писал(а):

нет, они вполне конкретно преобразовываются из их определения(по ускорениям)

Можно поподробнее?

[Red_Herring]

Если у Вас есть уравнение или система в частных производных, то у нее есть характеристический многочлен. Например у Максвелла в вакууме $\tau^2(\xi_0^2- c^2\xi_1^2-c^2\x_2^2 -c^2\xi_3^2)^2$ (первый множитель "отметается" за счет $\nabla\cdot \mathbf{E}=\nabla\cdot \mathbf{H}=0$), $\xi_j$ двойственны к $x_j$.

Т.е. если у Вас преобразования не сохраняют $\xi_0^2- c^2\xi_1^2-c^2\x_2^2 -c^2\xi_3^2=0$, то как ни преобразовывай $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$-увы и ах! А вот если сохраняют, то можно пытаться разбираться уже с преобразованиями $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$!

[мат-ламер]

Padawan
Кстати, если речь идёт о классическом виде уравнений Максвелла, то посмотрите Иродова - Основные законы э-ма - параграф 8.2.

[Padawan]

Sicker в сообщении #941431 писал(а):

нет, они вполне конкретно преобразовываются из их определения(по ускорениям)

Ну то есть, сначала (до теории относительности) преобразовывали $\mathbf{E}$ и $\mathbf B$ по одним формулам, потом стали преобразовывать по другим. Так тогда сама фраза, о том, что уравнения инвариантны/неинвариантны относительно преобразования Лоренца/Галилея бессмысленна без указания того, по каким именно формулам преобразуются поля.

Или преобразованию координат можно каким-то способом сопоставить вполне определённое преобразование функций (т.е. полей) ? Что это за способ?

[Ms-dos4]

Padawan
Дык например зная преобразования Лоренца вы же можете найти закон преобразования 4-векторов и 4-тензоров? Можете. Вот и всё. ЛЛ этим занимается прямо в первых параграфах Теории поля

[Padawan]

Red_Herring в сообщении #941439 писал(а):

Если у Вас есть уравнение или система в частных производных, то у нее есть характеристический многочлен. Например у Максвелла в вакууме $\tau^2(\xi_0^2- c^2\xi_1^2-c^2\x_2^2 -c^2\xi_3^2)^2$ (первый множитель "отметается" за счет $\nabla\cdot \mathbf{E}=\nabla\cdot \mathbf{H}=0$), $\xi_j$ двойственны к $x_j$.

Т.е. если у Вас преобразования не сохраняют $\xi_0^2- c^2\xi_1^2-c^2\x_2^2 -c^2\xi_3^2=0$, то как ни преобразовывай $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$-увы и ах! А вот если сохраняют, то можно пытаться разбираться уже с преобразованиями $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$!

Слишком сложно для меня. Не знаком с этой теорией. То есть, действительно из самих уравнений следует, что по каким формулам $\mathbf E'=\mathbf F(\mathbf E,\mathbf B, x,y,z,t), \mathbf B'=\mathbf G (\mathbf E,\mathbf B,x,y,z,t)$ ни преобразуй поля, если $x,y,z,t$ преобразуются по Галилею, то уравнения Максвелла не сохраняются? И насколько это осознавал сам Максвелл?

[Sicker]

Padawan в сообщении #941451 писал(а):

Ну то есть, сначала (до теории относительности) преобразовывали $\mathbf{E}$ и $\mathbf B$ по одним формулам, потом стали преобразовывать по другим. Так тогда сама фраза, о том, что уравнения инвариантны/неинвариантны относительно преобразования Лоренца/Галилея бессмысленна без указания того, по каким именно формулам преобразуются поля.

ну да

Padawan в сообщении #941451 писал(а):

Или преобразованию координат можно каким-то способом сопоставить вполне определённое преобразование функций (т.е. полей) ? Что это за способ?

можно, как вообще определяются напряженности поля?

[Padawan]

Sicker
Через силы, с которыми они действуют на пробный заряд и пробный ток. И как это использовать для вывода преобразований? Я намёк-то понял, но дальше не вижу, как это применить. Распишите, если не трудно.

[Sicker]

Ну дык, знаете как преобразуются скорости и ускорения в СТО? Заряд считает инваринтных, по определению находим вектора напряженности, точнее закон их преобразования, подставляем найденные штрихованные вектора напряженности и тока в уравнения максвелла и смотрим

-- 06.12.2014, 23:05 --

[Red_Herring]

Padawan
Попробуйте написать плоскую волну, удовлетворяющую Максвеллу. Типа $\mathbf{E}=\mathbf{e}e^{i t\omega + i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}$ и аналогично для $\mathbf{H}$, где $\mathbf{e}$, $\mathbf{h}$—постоянные амплитуды. Получите для них систему линейных уравнений с определителем $\omega^2 (\omega^2-c^2|\mathbf{k}^2)^2$. Вот и характеристический многочлен. А с дивергенциями приводят к $\mathbf{e}\cdot\mathbf{k}= \mathbf{h}\cdot\mathbf{k}=0$, и потому $\omega^2$ на самом деле не по делу

А что Максвелл сознавал. я не знаю.

[Padawan]

Sicker
Спасибо. С уравнениями Максвелла вроде понятно стало. Если мы задаем преобразование (произвольное) $x,y,z,t$, то этим мы задаем пересчет скоростей и ускорений точки от одной системы координат, к другой. А электрическое и магнитное поле полностью определяются тем, какое ускорение приобретает единичный заряд единичной массы (!), имеющий в данной точке данную скорость. Значит если нам известно их действие в одной системе координат, то будет известно и в другой.

! Стоп. Заряд мы считаем инвариантным. А как масса преобразуется от одной системе к другой? В преобразовании Галилея и Лоренца - понятно. А в общем случае? Да и будет ли в общем случае заряд инвариантен?

-- Вс дек 07, 2014 02:36:12 --

Вот возьму я напишу какое-нибудь преобразование (от балды) $x'=x'(x,y,z,t)$, $y'=y'(x,y,z,t)$, $z'=z'(x,y,z,t)$, $t'=t'(x,y,z,t)$. И спрошу: являются ли уравнения Максвелла инвариантными относительно такого преобразования? Это вообще будет иметь смысл?

[Red_Herring]

Padawan в сообщении #941503 писал(а):

Вот возьму я напишу какое-нибудь преобразование (от балды) $x'=x'(x,y,z,t)$, $y'=y'(x,y,z,t)$, $z'=z'(x,y,z,t)$, $t'=t'(x,y,z,t)$. И спрошу: являются ли уравнения Максвелла инвариантными относительно такого преобразования? Это вообще будет иметь смысл?

Да, будет. И часть ответа—простая: если световой конус не сохраняется, то нет, как ни подбирай преобразования напряженностей.

[пианист]

Если что, формулы для полей в §24 ЛЛ2.
Кроме симметрий пространства и преобразований Лоренца (группы Пункаре), у уравнений Максвелла емнис есть еще инверсии.

[Hyper_Tor]

Интересно, а связано ли полное преобразование уравнений Максвелла с понятием группа? Всегда ли инвариантное преобразование - это инвариант и группа?

[Munin]

По вопросу ТС:

Цитата:

(Иваненко, Сарданашвили. Гравитация. Глава 2 параграф 1.)

--------

пианист в сообщении #941529 писал(а):

Кроме симметрий пространства и преобразований Лоренца (группы Пункаре), у уравнений Максвелла емнис есть еще инверсии.

Если честно, то у уравнений Максвелла есть ещё и конформные преобразования. Избавиться от них можно только дополнив уравнения уравнениями с размерными константами, например, уравнениями механики частиц с заданной массой (уравнение Дирака для электрона с $m_e,$ например).