Задача по теории групп

[Exgr1]

Пусть на множестве G задано две бинарные операции $+$ и $-$, которые наделяют G структурой группы, причем имеет место «совместная ассоциативность»:
$ \forall a,b,c \in G \ \ a - (b + c) = (a - b) + c, a + (b - c) = (a + b) - c$
Доказать, что группы $(G, +)$ и $(G, -)$ изоморфны.

Ясно, что существует биекция $f: G \rightarrow G$.
Тогда $f(a-(b+c))= f((a-b)+c)$
Дальше идей как-то нет.

[grizzly]

Не долго думая: а наличие нейтрального и обратного элемента пытались задействовать? Или даже посмотреть, не будет ли нейтральный элемент общим для обеих операций.

[Exgr1]

Обратный пытался, не получилось, нейтральный - нет. Но пока и не выходит.

[grizzly]

Вы не пишете, каким образом попытались настроить биекцию. А это вызывает подозрения. Пусть $a\in (G;+)$, чему равно $f(a)$ в $(G;-)$?

[Exgr1]

Вот, попробовал доказать равенство единичных элементов.
Пусть $e_{1}$ и $e_{2}$ - единичные элементы групп $(G,+)$ и $(G,-)$ соответственно. Тогда.
$e_{1} - (e_{2} + e_{2} ) = (e_{1} - e_{2} ) + e_{2} = e_{2}$
$(e_{1})^{-1} - e_{1} - (e_{2} + e_{2} ) = (e_{1})^{-1} - e_{2}$
$e_{2}+e_{2} = (e_{1})^{-1}$
$(e_{2}+e_{2}) - e_{1} = e_{2}$
Тогда
$(e_{2}+e_{2})-e_{1} = e_{1}-(e_{2}+e_{2})$
Следовательно, следующее высказывание верно:
$(e_{2} + e_{2} = e_{2}) \vee (e_{1} = e_{2})$
$e_{2} + e_{2} = e_{2} \rightarrow e_{2} + e_{2} - e_{1} = e_{2} - e_{1} \rightarrow e_{2} + e_{1} = e_{1} \rightarrow e_{2} = e_{1}$

-- 06.12.2014, 20:06 --

Цитата:

Вы не пишете, каким образом попытались настроить биекцию.

Ну, вначале перебрал обычные стандартные варианты, например, $f(a) = a, f(a) = a^{-1}$, посмотрел, выполняется ли для них $f(a+b) = f(a) - f(b)$. Ничего из этого не вышло, конечно.

[grizzly]

Задача и правда олимпиадного уровня. Я своим "не долго обдуманным" ходом сбил с толку и себя и, возможно, модераторов.
Ну раз олимпиадная, то тупыми проверками здесь не обойтись. Как-то хочется сразу заподозрить, что обе операции одинаковы и всё остальное тривиально. Выглядит подозрительно, но:
если Вы правильно доказали совпадение нейтральных элементов, тогда:
подставив вместо $b$ сначала один, а потом другой единичный элемент из $\forall a,b,c \in G \ \ a - (b + c) = (a - b) + c$ получим с одной стороны:
$a-(e1+c)=a-c$
а с другой
$a-(e1+c)=a-(e2+c)=(a-e2)+c=a+c$
ЧТД.

Но проверьте, пжл, аккуратнее свои выкладки насчёт совпадения единичных элементов. Я тоже позднее посмотрю независимо.

[grizzly]

Нет, Ваше доказательство равенства нейтральных элементов не верно. А именно этот переход

Exgr1 в сообщении #941297 писал(а):

$(e_{2}+e_{2})-e_{1} = e_{1}-(e_{2}+e_{2})$
Следовательно, следующее высказывание верно:
$(e_{2} + e_{2} = e_{2}) \vee (e_{1} = e_{2})$

Первое равенство будет выполнено для любых элементов, если операция, например, коммутативна.

Значит, мои основанные на этом рассуждения тоже ни к чему.

Давайте вернёмся к вопросу о том, какую биекцию Вы планируете построить. Приведенные Вами варианты имеют существенный изъян: они не переводят нейтральный элемент в нейтральный. Значит сама идея неверна. Подумайте теперь, как настроить биекцию, чтобы нейтральный переводить в нейтральный. Какую-то нетривиальную связь между нейтральными элементами Вы уже получили.

Не исключено, что мы не найдём способа указать явный изоморфизм, но нужно попытаться. Задача интересная, и стоит прощупать все подходы.

[Exgr1]

Цитата:

Задача и правда олимпиадного уровня.

Из 8-й студенческой олимпиады МГУ по алгебре.

Цитата:

Первое равенство будет выполнено для любых элементов, если операция, например, коммутативна.

Это понятно, но у нас-то этого не сказано, а вывести из данных задачи этого невозможно. Значит, берутся произвольные группы, удовлетворяющие условиями. Или возможно?

А до этого момента всё верно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[grizzly]

Exgr1 в сообщении #941461 писал(а):

Это понятно, но у нас-то этого не сказано, а вывести из данных задачи этого невозможно.

Согласен. Значит, считаем, что гипотеза о совпадении нейтральных элементов -- ложный след.

Exgr1 в сообщении #941461 писал(а):

А до этого момента всё верно?

Вроде да. Контрольные точки точно правильные. Полученное соотношение между нейтральными элементами тоже. Понятно, что можно получить ещё одно такое же зеркально.

Неплохо бы ещё подобрать нетривиальный пример такой группы с разными операциями. (Тривиальный -- это когда операции совпадают.) Это бы сильно упростило понимание. Но я пока тоже даже не смотрел в эту сторону :)

Предлагаю бороться до победного, но уже завтра.

[Exgr1]

Цитата:

Согласен. Значит, считаем, что гипотеза о совпадении нейтральных элементов -- ложный след.

Извините, но я упорно не понимаю, почему?
Вот, смотрите: у нас не сказано, что группа коммутативная. Коммутативность нельзя ни доказать, ни опровергнуть на основе данных задачи. Таким образом, группа берётся произвольна относительно коммутативности, разве не так?
Значит, выведенное должно быть верно и относительно некоммутативной группы, нет?
А это возможно только в том случае, если.

Цитата:

Предлагаю бороться до победного, но уже завтра.

Согласен

[ivvan]

Вид изоморфизма в оффтопе:

(Оффтоп)

$y=e_-+x$

[Evgenjy]

$a\mapsto a-(e_++e_-)$

[VAL]

grizzly в сообщении #941465 писал(а):

Неплохо бы ещё подобрать нетривиальный пример такой группы с разными операциями. (Тривиальный -- это когда операции совпадают.) Это бы сильно упростило понимание. Но я пока тоже даже не смотрел в эту сторону :)

Возьмем обычную группу $\mathbb Z$ относительно обычного сложения.
Переобозначим вторую операцию через "$\oplus$", освобождая "$-$" для обычного использования.
Тогда можно определить $a\oplus b=a+b-1$.
Тривиально проверяется, что получилась группа, изоморфная исходной.

[Evgenjy]

Evgenjy в сообщении #941514 писал(а):

$a\mapsto a-(e_++e_-)$

Подробней
$(G, -)\rightarrow (G,+):a\mapsto a-e_+$
$(G, +)\rightarrow (G,-):a\mapsto a+e_-$
Их композиция:
$a\mapsto (a-e_+)+e_-=a-(e_++e_-)=a$
тождественный автоморфизм на $(G, -)$.
Условия изоморфизма следует проверить.