Инвариантность физических уравнений

[Padawan]

Что конкретно подразумевают, когда говорят, что некоторая система уравнений инварианта относительно тех или иных преобразований?
Возьмём для примера систему уравнений Максвелла в вакууме. Переменные: $x,y,z,t$, неизвестные функции: $E_x,E_y,E_z$, $B_x,B_y,B_z$. Что значит, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования Лоренца, но не инварианты относительно преобразования Галилея? Ведь задания одного только преобразований независимых переменных не достаточно, для того, чтобы проверить это утверждение. Надо еще задать преобразование неизвестных функций.

[Ms-dos4]

Это значит, что уравнения Максвелла сохраняют свой вид. На примере проще - как и уравнение закона Ньютона после перехода в другую систему отсчёта (преобр. Галилея). Поэтому, кстати, уравнения Максвелла полезно писать в "четырёхмерном" виде, там это очевидно.

[Padawan]

Ms-dos4 в сообщении #941371 писал(а):

Это значит, что уравнения Максвелла сохраняют свой вид.

После какой замены? Заменяем только независимые переменные? Неизвестные функции не заменяем? То есть $E'_x=E_x, E'_y=E_y, E'_z=E_z, B'_x=B_x, B'_y=B_y, B'_z=B_z$ -- одни и те же функции в новой и старой системе координат (системе отсчета) ?

[Ms-dos4]

Padawan
Нет конечно, они изменяться (можете кстати посчитать как).
Я уже сказал, посмотрите на уравнения Максвелла в четырёхмерной форме записи. Оттуда сразу ясна инвариантность.

[Padawan]

Ms-dos4 в сообщении #941395 писал(а):

Нет конечно, они изменяться (можете кстати посчитать как).

Извините, но Вы вообще не понимаете, о чем я говорю.
Допустим, я хочу проверить напрямую, что уравнения Максвелла не меняют свой вид при преобразованиях Лоренца. Мне дают только преобразования независимых переменных. На мой естественный вопрос, "А функции, что те же самые оставляем?" Мне говорят: "Нет, тоже преобразуем. Догадайся как."

Можно, конечно, поставить вопрос так: "Существует ли такое преобразование неизвестных функций, при которых уравнения не меняют свой вид." Вот я и спрашиваю: так стоит вопрос или как-то по другому?

[мат-ламер]

Padawan
А зависимые переменные остаются те же самые.

[Padawan]

мат-ламер
Если зависимые переменные оставить те же самые, то уравнения Максвелла изменят свой вид при преобразовании Лоренца.

[Ms-dos4]

Если вы запишите уравнения Максвелла в четырёхмерном виде (пседвоэвклидово пространство с метрикой $\[( + , - , - , - )\]$, то окажется, что они записываются в тензорном виде. Очевидно, что они не изменяться при преобразовании Лоренца. Но компоненты тензора поля конечно изменяться, и вы можете посчитать как.

[Padawan]

Ms-dos4
Про тензорный характер уравнений Максвелла мне прекрасно известно. Вопрос не конкретно о них, а вообще об инвариантности. Например, что значит, что уравнения Максвелла не инвариантны относительно преобразования Галилея, и как это можно проверить?

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #941413 писал(а):

мат-ламер
Если зависимые переменные оставить те же самые, то уравнения Максвелла изменят свой вид при преобразовании Лоренца.

Там со сменой координат электрическое поле переходит в магнитное и наоборот. Уравнения Максвелла надо смотреть в Ландау-Лифшице т.2.

[Sicker]

Padawan
да, конечно, для проверки инвариантности уравнения нам надо знать закон преобразования величин, которые связывает уравнение

[Padawan]

мат-ламер в сообщении #941422 писал(а):

Там со сменой координат электрическое поле переходит в магнитное и наоборот. Уравнения Максвелла надо смотреть в Ландау-Лифшице т.2.

К чему тогда была фраза

мат-ламер в сообщении #941408 писал(а):

Padawan
А зависимые переменные остаются те же самые.

-- Вс дек 07, 2014 00:54:20 --

Sicker
А вдруг для преобразования Галилея тоже можно так преобразовать компоненты $\mathbf E$ и $\mathbf B$, что вид уравнений также не изменится? То есть вопрос об инвариантности/не инвариантности получается не сводится к простому упражнению на замену переменных.

[Sicker]

Padawan в сообщении #941425 писал(а):

А вдруг для преобразования Галилея тоже можно так преобразовать компоненты $\mathbf E$ и $\mathbf B$, что вид уравнений также не изменится?

нет, они вполне конкретно преобразовываются из их определения(по ускорениям)
иначе вопрос об инвариантности уравнения не имел бы смысла

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #941425 писал(а):

К чему тогда была фраза

Виноват. Не внимательно тему прочёл.

[Ms-dos4]

Padawan
Вы не понимаете. Они не подбираются. Преобразование Лоренца оставляет инвариантным интервал. И конечно, можно посчитать как преобразуется 4-вектор при этом преобразовании. Отсюда уже элементарно следует закон преобразования компонент поля (да и самих уравнений). Но я повторюсь, то что эти преобразования просто переводят уравнения Максвелла в штрихованные координаты очевидно из их вида.