Система ДУ, метод Эйлера

[Nurzery[Rhymes]]

Решаю такую систему:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &\dot{x}=8y-x& \\ &\dot{y}=x+y& \\ \end{array} \right.$

Эту систему можно записать в матричном виде:

$\begin{pmatrix} & \dot{x} & \\ & \dot{y} & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1& 8& \\ 1& 1& \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & x& \\ & y & \\ \end{pmatrix} $

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ${\lambda}^{2}+9=0$, ${\lambda}_{1,2}=\pm 3i$
Корни комплексно сопряженные, поэтому для нахождения собственного вектора достаточно использовать только один из этих корней, допутим, $3i$. Подставим его в характеристическую матрицу:

$\begin{pmatrix} -1-3i& 8& \\ 1& 1-3i& \\ \end{pmatrix}$;

$\left\{ \begin{array}{rcl} &(-1-3i)a+8b=0& \\ &a+(1-3i)b=0& \\ \end{array} \right.$

Нам надо найти фундаментальную систему решений. Сложим эти два уравнения и получим:
$(-1-3i)a+8b+a+(1-3i)b=0$

$(-3i)a+(9-3i)b=0$

$(-3i)a=-(9-3i)b$, разделим на $3i$

$a=\frac{9-3i}{3i}b=\frac{(9-3i)(-3i)}{3i(-3i)}b=\frac{-27i-9}{9}b=(-3i-1)b$

Пусть $b=1$, тогда $a=-1-3i$. Но эти числа не удовлетворяют исходной системе. Где я ошибся? Перепроверил все уже несколько раз.

[Xaositect]

UPD. Что-то меня сегодня глючит, извините.

[Ms-dos4]

Вы характеристические числа неверно нашли. Ну и естественно получили систему, котороая удовлетворяется только при $\[a = b = 0\]$

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941147 писал(а):

Где я ошибся?

Здесь

Nurzery[Rhymes] в сообщении #941147 писал(а):

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

[Ms-dos4]

Xaositect
Да там то как раз ошибки нет (ещё один минус даёт мнимая единица в квадрате). Там уже до напортачено

[Nurzery[Rhymes]]

Спасибо, увидел. Хотел упростить себе нахождение характеристического уравнения, вынеся минус за скобку, но только запутал себя. Там вообще оказались действительные корни, и решение такое:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=2C_1 e^{3t} - 4C_2 e^{-3t}& \\ &y=C_1 e^{3t} + C_2 e^{-3t}& \\ \end{array} \right.$

-- 06.12.2014, 16:14 --

Не хочу создавать ради такой мелочи отдельную тему, но меня это сильно смущает. Вот, например, я нашел решение системы в виде
$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=C_1 - C_2 e^{2t}& \\ &y=C_1 + C_2 e^{2t}& \\ \end{array} \right.$

а в ответах к задачнику написано почти то же самое:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &x=C_1 + C_2 e^{2t}& \\ &y=C_1 - C_2 e^{2t}& \\ \end{array} \right.$

Оба решения правильные? Ведь такие небольшие отличия бывают, когда выбран другой собственный вектор, и это не должно быть ошибкой. Но в моем случае получается, что функция $x$ может быть той же самой, что и функция $y$, правые части можно приписать любой функции. По-моему это неправильно, потому что решение системы должно определяться однозначно.

[cool.phenon]

Nurzery[Rhymes]
Это один и тот же собственный вектор, и ответы на самом деле вообще одинаковые. Никакой ошибки. Просто собственный вектор определяется с точностью до множителя.

[provincialka]

$C_2$ - произвольное число. Так что можно взять $C_2=C$, а потом $C$ переобозначить как $C_2$. С произвольными постоянными работать надо не совсем так, как с конкретными числами.