Составить диф. уравнение по его решениям

[Nurzery[Rhymes]]

Расскажите, как правильно решается это задание? У меня в голове каша после того, как я легко решал более простые аналогичные задания и запутался с этим. Условие: составить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами по его решениям:
$y_1 = \sin x$, $y_2 = x\cos x$, $y_3 = x^2 \sin x$

Я определил, что первому решению соответствует корень хар. уравнения $i$ кратности 2, второму тоже $i$ кратности 2, и третьему корень $i$ кратности 3. Кроме того, этим корням соответствуют комплексно сопряженные той же кратности. Я хотел составить характеристическое уравнение так: $(\lambda - i)^7$, но это оказалось неправильно. Преподаватель показал, как правильно: $(\lambda - i)^3 (\lambda - (-i))^3 = 0$

Почему здесь каждая скобка возводится только в третью степень? Ведь всего корней 7 и все они одинаковые, кроме того, есть еще и 7 комплексно сопряженных. Мы каким-то образом определили, что достаточно перемножить только три скобки с корнем $i$ и три скобки с комплексно сопряженным $-i$.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940890 писал(а):

Я определил, что первому решению соответствует корень хар. уравнения $i$ кратности 2

Откуда вдруг почему зачем

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #940892 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940890 писал(а):

Я определил, что первому решению соответствует корень хар. уравнения $i$ кратности 2

Откуда вдруг почему зачем

Мне это расписать? $\sin x = e^0 \sin 1x$. Корень $0+i$

$y_2 = x \cos x = e^0 x\cos x$ Корень $i$.Тригонометрическая функция умножается на одночлен тогда, когда корень кратный. Значит, где-то рядом валяется еще столько корней, какова степень одночлена. Для последнего решения аналогично.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940901 писал(а):

Мне это расписать?

Это. Да, это. И только это, пожалуйста. Одно первое решение. Один штука. Сколько из него следует корней, какой кратности.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #940924 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940901 писал(а):

Мне это расписать?

Это. Да, это. И только это, пожалуйста. Одно первое решение. Один штука. Сколько из него следует корней, какой кратности.

Я там ошибся, да? Я так и подумал, тогда сейчас открою учебник.
Кратность 1, это очевидно.
Тригонометрические функции появляются, когда соответствующий им корень хар. уравнения - комплексный. Тогда одному корню соответствует решение $y = C_1 e^{\alpha x}\cos \beta x + C_2 e^{\alpha x}\sin \beta x$, где $z = \alpha + i\beta$ - корень хар. уравнения
Здесь нет $e$, потому что $\alpha = 0$. Из $\sin x$ видно, что $\beta = 1$. Значит, этому решению соответствует корень $i$

Да нет, вроде не ошибся. Я думал, там будет 1 вместо $i$.

[ИСН]

Запишите, пожалуйста, диффур, у которого хар.уравнение имеет один корень $i$ кратности 1.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #940936 писал(а):

Запишите, пожалуйста, диффур, у которого хар.уравнение имеет один корень $i$ кратности 1.

Этому корню соответствует еще комплексно сопряженный $-i$, поэтому $(\lambda - i)(\lambda + i) = {\lambda}^2 + 1 = 0$
$y'' + y = 0$

[Red_Herring]

Если у Вас линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, то помимо указанных Вами решений будут еще такие же с $\sin$ вместо $\cos$ и наоборот. Т.е. их будет 6 и уравнение 6-го порядка.

Если же разрешены переменные коэффициенты, то можно 3-го порядка (пишется через Вронскиан 4-го порядка) $W(y,y_1,y_2,y_3)=0$.

Остальное—сами

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940937 писал(а):

Этому корню соответствует еще комплексно сопряженный

Ага, значит, всё-таки корень-то не один. Хорошо. Едем дальше.

[Nurzery[Rhymes]]

Red_Herring в сообщении #940940 писал(а):

Если у Вас линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, то помимо указанных Вами решений будут еще такие же с $\sin$ вместо $\cos$ и наоборот. Т.е. их будет 6 и уравнение 6-го порядка.

Если же разрешены переменные коэффициенты, то можно 3-го порядка (пишется через Вронскиан 4-го порядка) $W(y,y_1,y_2,y_3)=0$.

Остальное—сами

То есть нас интересует только решение $y_3 = x^2 \sin x$, потому что два других входят в него? Кроме этого решения есть еще такое в с косинусом, а дальше можно понижать степень одночлена с 2 до 0, и получатся остальные два решения?

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940948 писал(а):

То есть нас интересует только решение $y_3 = x^2 \sin x$, потому что два других входят в него?

Типа того. А Вы попробуйте построить диффур да подставить в него всех.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #940949 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #940948 писал(а):

То есть нас интересует только решение $y_3 = x^2 \sin x$, потому что два других входят в него?

Типа того. А Вы попробуйте построить диффур да подставить в него всех.

В мейпле грязь какая-то получилась - уравнение 36 степени на половину воркшита.

[provincialka]

В смысле? Вы что, решали это уравнение? Вам же надо было только подставить. Это и ручками можно.

[ИСН]

Мейпл могучая система - если делать в нём что угодно, то и получится что угодно.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #940962 писал(а):

В смысле? Вы что, решали это уравнение? Вам же надо было только подставить. Это и ручками можно.

Не решал, просто перемножил скобки $(x-i)(x+i)$ в степенях 1, 2 и 3 и раскрыл скобки.