Прошу проверить правильность моих рассуждений и выкладок.
Две концентрические сферы в вакууме радиусов
![$\[{R_1}\]$ $\[{R_1}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/c/4ec9e60ab2af41dbd2bc0b3dce39c1b182.png)
и
![$\[{R_2}\]$ $\[{R_2}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/1/221be416b4d3cd253092a771ee4ac48382.png)
заряжены равномерно по поверхности (заряды
![$\[{q_1}\]$ $\[{q_1}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/a/28a672601ceb1fdcb3e8169f0ae53dd182.png)
и
![$\[{q_2}\]$ $\[{q_2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/4/064aa0d15a52319139c06f6adc92e26b82.png)
)
![$\[q > 0\]$ $\[q > 0\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/0/39073c56ac768926e4b5aa69b8616c2682.png)
Найти и построить графики для:
1.Напряженность электрического поля
2.Потенциал электрического поля
А также:
3.Выписать объемную плотность заряда через обобщенную функцию.
Рассмотреть задачу для случая: между сферами диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью
![$\[{\varepsilon _r} = 3\]$ $\[{\varepsilon _r} = 3\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/5/855d32cfd5796b89be8e43e1b992d5ab82.png)
.
Найти:
4.Напряженность электрического поля
5.Потенциал электрического поля
6.Электрическая индукция
7.Поляризация
Решение:
![$\[\left( 1 \right)\]$ $\[\left( 1 \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/0/3308e58c331e0b52025eb8e1547ca24382.png)
Точки, в которых нужной найти напряженность и потенциал поля лежат в трех областях:
1.
![$\[{r_1} < {R_1}\]$ $\[{r_1} < {R_1}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/4/8a45ebd257d77f9fcf4ab0d0a8fb42d482.png)
2.
![$\[{R_1} < {r_2} < {R_2}\]$ $\[{R_1} < {r_2} < {R_2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/5/0854ffda68d512878bc480389bc0decf82.png)
3.
![$\[{r_3} > {R_2}\]$ $\[{r_3} > {R_2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/d/1cd9bae59e9bb4926830eca5c6c6867e82.png)

Проведем в области 1 сферическую поверхность
![$\[{S_1}\]$ $\[{S_1}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/6/b269fc1f0de37487a4769b7f4a69ee4c82.png)
радиусом
![$\[{r_1}\]$ $\[{r_1}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/4/c148bc6a85b2848db96166e221125e8b82.png)
.
Внутри этой области зарядов нет, тогда, согласно теореме Гаусса,
![$\[\oint\limits_{{S_1}} {{E_n}ds = 0} \]$ $\[\oint\limits_{{S_1}} {{E_n}ds = 0} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/0/a90246c4c6a6b07a8aaad0f49c30643582.png)
, где
![$\[{{E_n}}\]$ $\[{{E_n}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/2/0324078951412bb260e10c309442e78282.png)
- нормальная составляющая напряженности эл.поля.
Из соображений симметрии, нормальная составляющая
![$\[{{E_n}}\]$ $\[{{E_n}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/2/0324078951412bb260e10c309442e78282.png)
должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е.
![$\[{E_n} = {E_1} = {\mathop{\rm co}\nolimits} nst\]$ $\[{E_n} = {E_1} = {\mathop{\rm co}\nolimits} nst\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/d/06d979afe0ff92505bedcf446356298b82.png)
. Тогда
![$\[{E_1}\oint\limits_{{S_1}} {ds = 0} \]$ $\[{E_1}\oint\limits_{{S_1}} {ds = 0} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/7/3470b3e5152d7156ba2855071147f82f82.png)
. Т.к. площадь сферы не равна нулю, то
![$\[{E_1} = 0\]$ $\[{E_1} = 0\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/2/e32c584123c702942053f00f520e220f82.png)
.
В области 2 проведем сферическую поверхность
![$\[{S_2}\]$ $\[{S_2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/e/57e82253e02d67f97927fd9c09eb96f382.png)
радиусом
![$\[{r_2}\]$ $\[{r_2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/3/953d81311b90727b4f30340255b185e082.png)
.
Т.к. внутри этой поверхности находится заряд
![$\[{q_2}\]$ $\[{q_2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/4/064aa0d15a52319139c06f6adc92e26b82.png)
, то
![$\[\oint\limits_{{S_2}} {{E_n}ds = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}}} \Rightarrow {E_2}\oint\limits_{S2} {ds = } \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_2}4\pi r_2^2 = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_2} = \frac{{{q_1}}}{{4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}}\]$ $\[\oint\limits_{{S_2}} {{E_n}ds = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}}} \Rightarrow {E_2}\oint\limits_{S2} {ds = } \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_2}4\pi r_2^2 = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_2} = \frac{{{q_1}}}{{4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/1/d615b2932404a92b37cdf1faf4b957c282.png)
В области 3 проведем сферическую поверхность
![$\[{S_3}\]$ $\[{S_3}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/8/ae871864ac91e42e80a5846adceba9cc82.png)
радиусом
![$\[{r_3}\]$ $\[{r_3}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/0/380cba3a3bd3d4ca0825b3389367be8a82.png)
.
Т.к. внутри этой поверхности находится заряд
![$\[{q_1} + {q_2}\]$ $\[{q_1} + {q_2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/b/c7b6d474008d86771fde79706a58718982.png)
, то
![$\[\oint\limits_{{S_3}} {{E_n}ds = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}}} \Rightarrow {E_3}\oint\limits_{{S_3}} {ds = } \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_3}4\pi r_3^2 = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_3} = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}}\]$ $\[\oint\limits_{{S_3}} {{E_n}ds = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}}} \Rightarrow {E_3}\oint\limits_{{S_3}} {ds = } \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_3}4\pi r_3^2 = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_3} = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/00798e5d5bcd8edba7f7d6abf5ba86a682.png)
Итого:
![$\[E(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}},{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$ $\[E(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}},{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/1/b813a52bfd216b8d29d7bfaccb6ebce982.png)
![$\[\left( 2 \right)\]$ $\[\left( 2 \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/1/0e121a50dda7a0d5f62bb779035d670582.png)
Заряд
![$\[{q_1}\]$ $\[{q_1}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/a/28a672601ceb1fdcb3e8169f0ae53dd182.png)
создает внутри сферы
![$\[{S_1}\]$ $\[{S_1}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/6/b269fc1f0de37487a4769b7f4a69ee4c82.png)
поле с потенциалом
![$\[{\varphi _1} = k\frac{{{q_1}}}{{{R_1}}}\]$ $\[{\varphi _1} = k\frac{{{q_1}}}{{{R_1}}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/9/c59d856a4986824b0ea2b9be0323492482.png)
.
Заряд
![$\[{q_2}\]$ $\[{q_2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/4/064aa0d15a52319139c06f6adc92e26b82.png)
создает внутри сферы
![$\[{S_2}\]$ $\[{S_2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/e/57e82253e02d67f97927fd9c09eb96f382.png)
поле с потенциалом
![$\[{\varphi _2} = k\frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}\]$ $\[{\varphi _2} = k\frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/7/d177ad37eb227364861793c6dc65e35682.png)
.
Во внутренней сфере потенциалы по принципу суперпозиции складываются:
![$\[\varphi ({r_1}) = {\varphi _1} + {\varphi _2} = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}} \right)\]$ $\[\varphi ({r_1}) = {\varphi _1} + {\varphi _2} = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf992821105858f9c8b7cda6267c50d82.png)
Между сферами:
![$\[\varphi ({r_2}) = {\varphi _1}({r_2}) + {\varphi _2} = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{r_2}}} + \frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}} \right)\]$ $\[\varphi ({r_2}) = {\varphi _1}({r_2}) + {\varphi _2} = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{r_2}}} + \frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/2/aa2d4760d413ac2891d292462c3a3f4a82.png)
Вне сфер:
![$\[\varphi ({r_3}) = {\varphi _1}({r_3}) + {\varphi _2}({r_3}) = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{r_3}}} + \frac{{{q_2}}}{{{r_3}}}} \right)\]$ $\[\varphi ({r_3}) = {\varphi _1}({r_3}) + {\varphi _2}({r_3}) = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{r_3}}} + \frac{{{q_2}}}{{{r_3}}}} \right)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/8/b48d7ecec745b1e8134eb20b9c91aa1982.png)

![$\[(3)\]$ $\[(3)\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/9/b89df8b1c93ab462cbfb5966e425c28082.png)
Сферы заряжены равномерно.
![$\[\begin{array}{l}
{\sigma _1} = \frac{{{q_{_1}}}}{{{S_1}}} = \frac{{ - 2q}}{{4\pi R_1^2}}\\
{\sigma _2} = \frac{{{q_2}}}{{{S_2}}} = \frac{{ - q}}{{4\pi R_2^2}}
\end{array}\]$ $\[\begin{array}{l}
{\sigma _1} = \frac{{{q_{_1}}}}{{{S_1}}} = \frac{{ - 2q}}{{4\pi R_1^2}}\\
{\sigma _2} = \frac{{{q_2}}}{{{S_2}}} = \frac{{ - q}}{{4\pi R_2^2}}
\end{array}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/d/cad7864d69ce7ea86d004dec16cd11e982.png)
Обобщенная функция:
![$\[\rho = {\sigma _1}\delta (r - {R_1}) + {\sigma _2}\delta (r - {R_2})\]$ $\[\rho = {\sigma _1}\delta (r - {R_1}) + {\sigma _2}\delta (r - {R_2})\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f313187062524d3798ad719f0c7f4f582.png)
![$\[(5)\]$ $\[(5)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/f/e3f51ea486831d043681af1c061c4af182.png)
Цитата:
Рассмотреть задачу для случая: между сферами диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью
![$\[{\varepsilon _r} = 3\]$ $\[{\varepsilon _r} = 3\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/5/855d32cfd5796b89be8e43e1b992d5ab82.png)
.
Вне сфер:
![$\[\varphi = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{r}\]$ $\[\varphi = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{r}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/2/522a71c94c237d8bd9346eb13183346782.png)
Между сферами поле создается только зарядом
![$\[{{q_1}}\]$ $\[{{q_1}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/b/fdbeab976e7067322579b2c547a2200882.png)
:
![$\[E = k\frac{{{q_1}}}{{3{r^2}}}\]$ $\[E = k\frac{{{q_1}}}{{3{r^2}}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/a/74a173677822f9fe10148129189c6ae482.png)
Изменение потенциала от
![$\[r\]$ $\[r\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/5/ff5c06100d0fe516428c9f83677eb40e82.png)
до
![$\[{R_2}\]$ $\[{R_2}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/1/221be416b4d3cd253092a771ee4ac48382.png)
:
![$\[\varphi ({R_2}) - \varphi (r) = - \int\limits_r^{{R_2}} {Edr} = k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{R_2}}} - \frac{1}{r}} \right)\]$ $\[\varphi ({R_2}) - \varphi (r) = - \int\limits_r^{{R_2}} {Edr} = k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{R_2}}} - \frac{1}{r}} \right)\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/3/1132962cee5b1acfe53105e9fbca079182.png)
Тогда
![$\[\varphi (r) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\]$ $\[\varphi (r) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/3/63359d76c3e6e23f66384c5e9051410b82.png)
![$\[\begin{array}{l}
\varphi ({r_2}) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\\
\varphi ({R_1}) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right) = \varphi ({r_1})
\end{array}\]$ $\[\begin{array}{l}
\varphi ({r_2}) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\\
\varphi ({R_1}) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right) = \varphi ({r_1})
\end{array}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/533b828ca6a03dee1509cc8b04ad53d882.png)
![$\[E(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{3 \cdot 4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}},{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$ $\[E(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{3 \cdot 4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}},{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/d/06d927261bd38546a720064e4f2bf79b82.png)
![$\[(7)\]$ $\[(7)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/b/84b87e163b69ac166937ead051b9555382.png)
![$\[\begin{array}{l}
\vec D = \vec E{\varepsilon _0} + \vec P = {\varepsilon _0}{\varepsilon _r}\vec E\\
\vec P = \vec D - \vec E{\varepsilon _0}
\end{array}\]$ $\[\begin{array}{l}
\vec D = \vec E{\varepsilon _0} + \vec P = {\varepsilon _0}{\varepsilon _r}\vec E\\
\vec P = \vec D - \vec E{\varepsilon _0}
\end{array}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/f/6efd0774799c4ea7abd443ee995ce53d82.png)
![$\[D(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2}},{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$ $\[D(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2}},{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/0/fe0b04cdbdfebfbb1d7e502111104a1f82.png)
![$\[P(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2}}(1 - \frac{1}{{3{\varepsilon _0}}}),{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2}}(1 - \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}),{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$ $\[P(r) = \left\{ \begin{array}{l}
0,{r_{}} < {R_1}\\
\frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2}}(1 - \frac{1}{{3{\varepsilon _0}}}),{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\
\frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2}}(1 - \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}),{r_{}} > {R_2}
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/6/4b600cc86e158f5e23ab34876242da8a82.png)