Две концентрические сферы

[Whoever]

Прошу проверить правильность моих рассуждений и выкладок.

Две концентрические сферы в вакууме радиусов $\[{R_1}\]$ и $\[{R_2}\]$ заряжены равномерно по поверхности (заряды $\[{q_1}\]$ и $\[{q_2}\]$ )
$\[{q_1} = - 2q\]$
$\[{q_2} = q\]$
$\[q > 0\]$
Найти и построить графики для:
1.Напряженность электрического поля
2.Потенциал электрического поля
А также:
3.Выписать объемную плотность заряда через обобщенную функцию.

Рассмотреть задачу для случая: между сферами диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью $\[{\varepsilon _r} = 3\]$.
Найти:
4.Напряженность электрического поля
5.Потенциал электрического поля
6.Электрическая индукция
7.Поляризация

Решение:
$\[\left( 1 \right)\]$
Точки, в которых нужной найти напряженность и потенциал поля лежат в трех областях:
1. $\[{r_1} < {R_1}\]$
2. $\[{R_1} < {r_2} < {R_2}\]$
3. $\[{r_3} > {R_2}\]$

Проведем в области 1 сферическую поверхность $\[{S_1}\]$ радиусом $\[{r_1}\]$.
Внутри этой области зарядов нет, тогда, согласно теореме Гаусса, $\[\oint\limits_{{S_1}} {{E_n}ds = 0} \]$, где $\[{{E_n}}\]$ - нормальная составляющая напряженности эл.поля.
Из соображений симметрии, нормальная составляющая $\[{{E_n}}\]$ должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. $\[{E_n} = {E_1} = {\mathop{\rm co}\nolimits} nst\]$. Тогда $\[{E_1}\oint\limits_{{S_1}} {ds = 0} \]$. Т.к. площадь сферы не равна нулю, то $\[{E_1} = 0\]$.
В области 2 проведем сферическую поверхность $\[{S_2}\]$ радиусом $\[{r_2}\]$.
Т.к. внутри этой поверхности находится заряд $\[{q_2}\]$, то $\[\oint\limits_{{S_2}} {{E_n}ds = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}}} \Rightarrow {E_2}\oint\limits_{S2} {ds = } \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_2}4\pi r_2^2 = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_2} = \frac{{{q_1}}}{{4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}}\]$
В области 3 проведем сферическую поверхность $\[{S_3}\]$ радиусом $\[{r_3}\]$.
Т.к. внутри этой поверхности находится заряд $\[{q_1} + {q_2}\]$, то $\[\oint\limits_{{S_3}} {{E_n}ds = \frac{{{q_1}}}{{{\varepsilon _0}}}} \Rightarrow {E_3}\oint\limits_{{S_3}} {ds = } \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_3}4\pi r_3^2 = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{\varepsilon _0}}} \Rightarrow {E_3} = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}}\]$
Итого: $\[E(r) = \left\{ \begin{array}{l} 0,{r_{}} < {R_1}\\ \frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\ \frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}},{r_{}} > {R_2} \end{array} \right.\]$
$\[\left( 2 \right)\]$
Заряд $\[{q_1}\]$ создает внутри сферы $\[{S_1}\]$ поле с потенциалом $\[{\varphi _1} = k\frac{{{q_1}}}{{{R_1}}}\]$.
Заряд $\[{q_2}\]$ создает внутри сферы $\[{S_2}\]$ поле с потенциалом $\[{\varphi _2} = k\frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}\]$.
Во внутренней сфере потенциалы по принципу суперпозиции складываются: $\[\varphi ({r_1}) = {\varphi _1} + {\varphi _2} = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{R_1}}} + \frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}} \right)\]$
Между сферами: $\[\varphi ({r_2}) = {\varphi _1}({r_2}) + {\varphi _2} = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{r_2}}} + \frac{{{q_2}}}{{{R_2}}}} \right)\]$
Вне сфер: $\[\varphi ({r_3}) = {\varphi _1}({r_3}) + {\varphi _2}({r_3}) = k\left( {\frac{{{q_1}}}{{{r_3}}} + \frac{{{q_2}}}{{{r_3}}}} \right)\]$


$\[(3)\]$
Сферы заряжены равномерно.
$\[\begin{array}{l} {\sigma _1} = \frac{{{q_{_1}}}}{{{S_1}}} = \frac{{ - 2q}}{{4\pi R_1^2}}\\ {\sigma _2} = \frac{{{q_2}}}{{{S_2}}} = \frac{{ - q}}{{4\pi R_2^2}} \end{array}\]$
Обобщенная функция: $\[\rho = {\sigma _1}\delta (r - {R_1}) + {\sigma _2}\delta (r - {R_2})\]$

$\[(4)\]$ $\[(5)\]$

Цитата:

Рассмотреть задачу для случая: между сферами диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью $\[{\varepsilon _r} = 3\]$.

Вне сфер: $\[\varphi = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{r}\]$
Между сферами поле создается только зарядом $\[{{q_1}}\]$: $\[E = k\frac{{{q_1}}}{{3{r^2}}}\]$
Изменение потенциала от $\[r\]$ до $\[{R_2}\]$: $\[\varphi ({R_2}) - \varphi (r) = - \int\limits_r^{{R_2}} {Edr} = k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{R_2}}} - \frac{1}{r}} \right)\]$
Тогда $\[\varphi (r) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\]$
$\[\begin{array}{l} \varphi ({r_2}) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\\ \varphi ({R_1}) = k\frac{{{q_1} + {q_2}}}{{{R_2}}} + k\frac{{{q_1}}}{3}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right) = \varphi ({r_1}) \end{array}\]$

$\[E(r) = \left\{ \begin{array}{l} 0,{r_{}} < {R_1}\\ \frac{{ - 2q}}{{3 \cdot 4\pi r_2^2{\varepsilon _0}}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\ \frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2{\varepsilon _0}}},{r_{}} > {R_2} \end{array} \right.\]$

$\[(6)\]$ $\[(7)\]$
$\[\begin{array}{l} \vec D = \vec E{\varepsilon _0} + \vec P = {\varepsilon _0}{\varepsilon _r}\vec E\\ \vec P = \vec D - \vec E{\varepsilon _0} \end{array}\]$

$\[D(r) = \left\{ \begin{array}{l} 0,{r_{}} < {R_1}\\ \frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2}},{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\ \frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2}},{r_{}} > {R_2} \end{array} \right.\]$

$\[P(r) = \left\{ \begin{array}{l} 0,{r_{}} < {R_1}\\ \frac{{ - 2q}}{{4\pi r_2^2}}(1 - \frac{1}{{3{\varepsilon _0}}}),{R_1} < {r_{}} < {R_2}\\ \frac{{ - q}}{{4\pi r_3^2}}(1 - \frac{1}{{{\varepsilon _0}}}),{r_{}} > {R_2} \end{array} \right.\]$

[Whoever]

Проверьте хотя бы обобщенную функцию и поляризацию

[DimaM]

Whoever в сообщении #940714 писал(а):

Проверьте хотя бы обобщенную функцию и поляризацию

Обобщенные функции правильные.
Поляризация неверно - забыли поле на $\varepsilon_0$ домножить (все зло от СИ).

[Whoever]

DimaM
Да, действительно, не домножено.