"Нестыковка" в ТФКП

[IGOR1]

Xaositect в сообщении #940675 писал(а):

Имеется в виду следующий банальный факт: если $\lim_{z\to 0} F(z) = A$, и $\lim_{n\to\infty} z_n = 0$, то $\lim_{n\to\infty} F(z_n) = A$.

Извините, но у нас имеется функция $F(x,y)$. Частная производная от этой функции по $x$ равна $A(x,y)$, а частная производная от нее по $y$ равна $B(x,y)$. Почему мы должны прийти к равенству $A(x,y)=B(x,y)$?

[Xaositect]

IGOR1 в сообщении #940677 писал(а):

Извините, но у нас имеется функция $F(x,y)$. Частная производная от этой функции по $x$ равна $A(x,y)$, а частная производная от нее по $y$ равна $B(x,y)$. Почему мы должны прийти к равенству $A(x,y)=B(x,y)$?

У нас есть функция комплексной переменной $f(z)$, у которой есть одна производная, по $z$. Ее можно расписать двумя способами - когда приращение $z$ действительное, и когда оно чисто мнимое, и результат должны быть одинаковый.

[Mopnex]

Интересно, а раньше ТФКП в технических вузах вообще что-ли не преподавали?

[IGOR1]

Xaositect в сообщении #940678 писал(а):

У нас есть функция комплексной переменной $f(z)$, у которой есть одна производная, по $z$. Ее можно расписать двумя способами - когда приращение $z$ действительное, и когда оно чисто мнимое, и результат должны быть одинаковый.

Когда приращение действительное - это и есть частная производная по $x$. Когда приращение мнимое - это и есть частная производная по $y$.( $z$ есть функция $x$ и $y$) Поэтому конечно возникает вопрос - почему эти частные производные равны друг другу?

-- 05.12.2014, 14:46 --

Mopnex в сообщении #940679 писал(а):

Интересно, а раньше ТФКП в технических вузах вообще что-ли не преподавали?

В нашем вузе преподавали

[Xaositect]

IGOR1 в сообщении #940681 писал(а):

Когда приращение действительное - это и есть частная производная по $x$. Когда приращение мнимое - это и есть частная производная по $y$.( $z$ есть функция $x$ и $y$) Поэтому конечно возникает вопрос - почему эти частные производные равны друг другу?

Потому что по условию есть производная по комплексной переменной $z$. Это не то же самое, что существование частных производных по дейтсвительной и мнимой части, это более сильное условие.

[IGOR1]

Xaositect в сообщении #940682 писал(а):

Потому что по условию есть производная по комплексной переменной $z$. Это не то же самое, что существование частных производных по дейтсвительной и мнимой части, это более сильное условие.

Но тогда эта производная очевидно равна ${\frac {df(z)}{ dz}}$ и не надо приравнивать частные производные

[Xaositect]

IGOR1 в сообщении #940685 писал(а):

Но тогда эта производная очевидно равна ${\frac {df(z)}{ dz}}$ и не надо приравнивать частные производные

Ну вот Смирнову покзалось, что надо. Вы согласны с тем, что можно доказать, что они будут равны?

[IGOR1]

Xaositect в сообщении #940689 писал(а):

Ну вот Смирнову покзалось, что надо. Вы согласны с тем, что можно доказать, что они будут равны?

Да, если Смирнову показалось что надо приравнивать - тогда действительно надо. Если захотеть, то конечно можно доказать что они равны. Но думаю что будет справедливым отказаться от этого желания.

[Xaositect]

IGOR1 в сообщении #940693 писал(а):

Да, если Смирнову показалось что надо приравнивать - тогда действительно надо. Если захотеть, то конечно можно доказать что они равны. Но думаю что будет справедливым отказаться от этого желания.

Мы математикой занимаемся или как? У нас есть аксиомы и определения, мы из них можем доказать, что какие-то выражения равны. Значит, они действительно равны, ровно настолько, насколько мы принимаем истинными аксиомы, определения и правила логического вывода.

На каком основании Вы предлагаете "отказаться от этого желания"?

[IGOR1]

Xaositect в сообщении #940694 писал(а):

На каком основании Вы предлагаете "отказаться от этого желания"?

Потому что в глубине души я убежден, что частные производные не надо приравнивать а просто взять производную от $f(z)$ по $z$ - и совесть будет чиста перед студентами. Спасибо вам за уделенное мне время и терпение

[Nemiroff]

Уно.
Рассмотрим функцию $u: \mathbb{R}^2 \to\mathbb{R}$. Она называется дифференцируемой в точке $(x_0,y_0)$, если существует вектор $A\in\mathbb{R}^2$, такой что $u(x,y)-u(x_0,y_0)=\left\langle A, \begin{Vmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{Vmatrix} \right\rangle + o\left(\begin{vmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{vmatrix}_2\right)$ при $(x,y)\to(x_0,y_0)$. Тогда $A$ есть градиент функции $u$ в точке $(x_0,y_0)$ и $A=\begin{Vmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) \end{Vmatrix}$.

Дос.
Рассмотрим функцию $\mathbf{f}: \mathbb{R}^2 \to\mathbb{R}^2$. Пусть $\mathbf{f}(x,y)=\begin{Vmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{Vmatrix}$. Функция $\mathbf{f}$ называется дифференцируемой функцией в точке $(x_0,y_0)$, если $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$.
Тогда приращение $\mathbf{f}$ в окрестности $(x_0,y_0)$ представляется в виде $\mathbf{f}(x,y)-\mathbf{f}(x_0,y_0)=\mathbf{D} \begin{Vmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{Vmatrix} + o\left(\begin{vmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{vmatrix}_2\right)$ при $(x,y)\to(x_0,y_0)$, где $\mathbf{D}$ — матрица, строки которой есть транспонированные градиенты функций $u$ и $v$ соответственно. То бишь, $D=\begin{Vmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) & \dfrac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) \\ \dfrac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) & \dfrac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)\end{Vmatrix}$.

Трес.
Комплексные числа — это матрицы вида $\begin{Vmatrix} a & b \\ -b & a\end{Vmatrix}$, где $a, b \in \mathbb{R}$. Каждое такое число для краткости обозначается $a+ib$ и ассоциируется с вектором из $\begin{Vmatrix} a \\ b \end{Vmatrix}\in \mathbb{R}^2$.

Кватро.
Различим дифференцируемость вектор-функции двух аргументов и дифференцируемость комплексной функции. Во втором случае потребуем, чтобы обобщение производной — матрица $\mathbf{D}$ — была бы не просто матрицей, а комплексным числом. Это означает, что $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y} $, $\dfrac{\partial u}{\partial y}= -\dfrac{\partial v}{\partial x}$.

[Xaositect]

Цитата:

Потому что в глубине души я убежден, что частные производные не надо приравнивать а просто взять производную от $f(z)$ по $z$ - и совесть будет чиста перед студентами. Спасибо вам за уделенное мне время и терпение

Для того, чтобы найти производную, конечно, достаточно взять производную по $z$. Но приравниваем мы их не просто так, а потому что из этого можно доказать полезные утверждения. Например, что если производную можно взять один раз, то можно брать и дальше, бесконечно много раз. Или что функция при этом в ряд раскладывается. Или формулу Коши для интегралов.

[IGOR1]

Nemiroff в сообщении #940701 писал(а):

Сентенция (на самом деле нет).

Да - это классический пример того как надо проводить математические исследования

-- 05.12.2014, 15:35 --

Xaositect в сообщении #940702 писал(а):

Например, что если производную можно взять один раз, то можно брать и дальше, бесконечно много раз. Или что функция при этом в ряд раскладывается. Или формулу Коши для интегралов.

Да - все это так - это азы математики

[Xaositect]

IGOR1 в сообщении #940706 писал(а):

Да - все это так - это азы математики

Ну вот например для действительных чисел неверно, что из однократной дифференцируемости следует бесконечная дифференцируемость. И бесконечная дифференцируемость от аналитичности тоже отличается. Так что надо доказывать.

[Munin]

IGOR1 в сообщении #940700 писал(а):

Потому что в глубине души я убежден, что частные производные не надо приравнивать а просто взять производную от $f(z)$ по $z$ - и совесть будет чиста перед студентами.

Если вы можете вывести условия Коши-Римана именно таким способом - пожалуйста. Но боюсь, вы не сможете.