Задача по стереометрии (Пирамида)

[FRISKA]

Условие задачи:
Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30 градусов. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Определить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.
Я нашла сторону основания, равную 4r. Нашла диагонали через sin 15 градусов, но у меня получился двойной корень и поэтому ответ не сходится. Помогите пожалуйста до конца решить задачу. Это 2.039 номер в сборнике Сканави.

[Gordmit]

FRISKA писал(а):

Нашла диагонали через sin 15 градусов, но у меня получился двойной корень и поэтому ответ не сходится. Помогите пожалуйста до конца решить задачу. Это 2.039 номер в сборнике Сканави.

Если правильно решать, то одна диагональ должна выражаться через $r$ и $\sin 15^\circ$, а вторая - через $r$ и $\cos 15^\circ$. Соответственно, при нахождении площади основания sin и cos перемножатся, и можно будет воспользоваться формулой синуса двойного угла. Рассмотрите еще раз внимательно прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба, радиус вписанной окружности в нем является высотой, опущенной на гипотенузу.

Добавлено спустя 1 минуту 14 секунд:

Точнее, наоборот, высота, опущенная на гипотенузу, является радиусом вписанной окружности

[FRISKA]

Спасибо за совет. Но задачу можно решить и другим способом ( не находя диагонали ромба).
Площадь основания можно найти через сторону основания и sin угла 30 градусов, а высоту пирамиды и апофему из прямоугольного треугольника, катетами к-рого являются радиус вписанной окружности и высота пирамиды. :)

[Gordmit]

Конечно, задачу можно решать разными способами. Я просто отталкивался от Вашего изначального желания найти диагонали ромба (что вполне естественно, т.к. через них площадь очень легко выражается).

P.S. Интересно, а что такое "апофема"?

[FRISKA]

Апофема - высота боковой грани пирамиды