Дельта-функция

[Katmandu]

Плотность объемного заряда задается функцией.

$\rho (x,y,z) = C_1 \delta (y) + C_2 e^{-2|z|} \delta(x-a)\delta(y-b) + C_3 \delta(x-d) \delta(z-e)$

Где и как распределен заряд?

Для начала рассматриваю такую функцию $\rho (x,y,z) = C_1 \delta (y)$ чтобы понять что происходит.
При $y = 0$, $\rho (x,0,z) = C_1 \delta (0) =C_1 \infty = \infty$
Т.е. заряжена вся плоскость $Oxz$
Верно?

[warlock66613]

Katmandu в сообщении #940113 писал(а):

Т.е. заряжена вся плоскость $Oxz$
Верно?

Верно. А какова поверхностная плотность заряда?

[Katmandu]

warlock66613 в сообщении #940115 писал(а):

А какова поверхностная плотность заряда?

А зная только :

Katmandu в сообщении #940113 писал(а):

$\rho (x,y,z) = C_1 \delta (y)$

ее можно найти?

[warlock66613]

Конечно можно. Например так: возьмите небольшой участок плоскости, окружите его маленькой областью, и посчитайте суммарный зараяд в этой области двумя способами: через объёмную плотность и через поверхностную. И вы найдёте поверхностную плотность на этом маленьком участке.

[Katmandu]

warlock66613 в сообщении #940118 писал(а):

Конечно можно. Например так: возьмите небольшой участок плоскости, окружите его маленькой областью, и посчитайте суммарный зараяд в этой области двумя способами: через объёмную плотность и через поверхностную. И вы найдёте поверхностную плотность на этом маленьком участке.

Если я выберу на своей плоскости элементарную область площадью $\Delta a$ , то зная поверхностную плотность $\sigma$ я могу найти элементарный заряд этой области $ \Delta q = \sigma \Delta a $

Далее для объемной плотности:
Рассмотрим не плоскость, а пластинку толщиной $ m $.
Зная объемную плотность заряда $\rho$ и выбрал элементарный объем $\Delta V $ я могу посчитать заряд
$\Delta q = \rho \Delta V$.
Далее $\Delta V$ можно рассмотреть как $\Delta x \Delta y \Delta z$
и подставить туда $m$ , а потом $m$ устремить к нулю

Как рассуждения зашли в тупик. Не понял как связать поверхностную и объемную плотности

[warlock66613]

Katmandu в сообщении #940124 писал(а):

Рассмотрим не плоскость, а пластинку толщиной $ m $.

Это вы куда-то не туда пошли. Есть объёмая плотность $\rho (x,y,z) = C_1 \delta (y)$ - вот и находите из неё заряд в объёме. Естественно он будет развен заряду части плоскости, попавшей в этот объём, - ведь вне плоскости зарядов на самом деле нет.

[Katmandu]

Тогда
$\Delta q = \rho \Delta V = C_1 \delta (y) \Delta V$
и так как
$\Delta q = \sigma \Delta a$

Видимо тогда получается
$C_1 \delta (y) \Delta V = \sigma \Delta a$

[warlock66613]

Katmandu в сообщении #940129 писал(а):

Тогда
$\Delta q = \rho \Delta V = C_1 \delta (y) \Delta V$

Дельта-функция - это хитрая функция. Для гладкой функции и достаточно малого объёма - настолько малого, что функцию можно считать постоянной в этом объёме - то, что вы написали было бы верно. Но дельта-функция прыгает от нуля до бесконечности в нуле, так что какой бы маленький объём $\Delta V$ вы не взяли, её никак нельзя считать постоянной в этом объёме. Поэтому надо воспользоваться общей формулой, связывающей заряд с плотностью в большом объёме.

[Katmandu]

warlock66613 в сообщении #940138 писал(а):

Поэтому надо воспользоваться общей формулой, связывающей заряд с плотностью в большом объёме.

Тогда заряд в объеме равен

$$ q = \int_V \rho dV = \int_V C_1 \delta(y) dV $$

-- 04.12.2014, 16:58 --

Katmandu в сообщении #940142 писал(а):

$$ q = \int_V \rho dV = \int_V C_1 \delta(y) dV $$

Если расписывать дальше то получится

$$ \int\int C_1 dxdz $$

[warlock66613]

Katmandu в сообщении #940142 писал(а):

Если расписывать дальше то получится

$$ \int\int C_1 dxdz $$

А поскольку $C_1$ - это сами-знаете-что, то что?

[Katmandu]

$\sigma = C_1$ - поверхностная плотность заряда

-- 04.12.2014, 17:17 --

Теперь рассматривая
$\rho (x,y,z) = C_2 e^{-2|z|} \delta(x-a)\delta(y-b) + C_3 \delta(x-d) \delta(z-e)$

можно составить следующую картину:

Если фиксировать $x = a , y = b$
то получится заряженная прямая с линейной плотностью заряда $ C_2 e^{2|z|}$
Любая точка на этой прямой имеет координаты $(a,b,z) $ , где $z \in (-\infty,\infty) $


Теперь фиксируя $x = d, z = e$. И опять получаем прямую с линейной плотностью заряда $C_3$

Верно?

[warlock66613]

Ну да, верно. (Только у вас минус в показателе экспоненты потерялся.)