пифагоровы тройки

[Yarkin]

bot писал(а):

Кроме того, нам всем известно описание всех целых решений уравнений $x+y=z$ и $x^2+y^2=z^2$, если что - можем поделиться.

Доказательства существования целочисленных решений второго уравнения я не встречал.

[Батороев]

Yarkin писал(а):

bot писал(а):

Кроме того, нам всем известно описание всех целых решений уравнений $x+y=z$ и $x^2+y^2=z^2$, если что - можем поделиться.

Доказательства существования целочисленных решений второго уравнения я не встречал.

Любое нечетное число можно можно представить в виде разности квадратов двух чисел по формуле:
$ n = (\frac{n+1}{2})^2 - (\frac{n-1}{2})^2 $,

в том числе и квадрат нечетного числа:
$ 3^2 =( \frac{3^2+1}{2})^2- (\frac{3^2-1}{2})^2 =5^2 - 4^2 $

Это, как минимум.
Для составных чисел (и соответственно, их квадратов) вариантов представления в виде разности квадратов - несколько.

[Someone]

Батороев писал(а):

Yarkin писал(а):

Доказательства существования целочисленных решений второго уравнения я не встречал.

... в том числе и квадрат нечетного числа:
$ 3^2 =( \frac{3^2+1}{2})^2- (\frac{3^2-1}{2})^2 =5^2 - 4^2 $

Это, как минимум.

Вы, наверное, не в курсе. Yarkin не считает $x=3$, $y=4$, $z=5$ целочисленным решением уравнения $x^2+y^2=z^2$.

[Yarkin]

Батороев писал(а):

в том числе и квадрат нечетного числа:
$ 3^2 =( \frac{3^2+1}{2})^2- (\frac{3^2-1}{2})^2 =5^2 - 4^2 $

Это, как минимум.

Спасибо. С доказательством нахождения целочисленных решений (индусов) я знаком. Может быть у этого уравнения, кроме пифагоровых троек имеются другие целочисленные решения. Уравнение написано для чисел, а не для длин сторон...

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Someone писал(а):

Вы, наверное, не в курсе. Yarkin не считает $x=3$, $y=4$, $z=5$ целочисленным решением уравнения $x^2+y^2=z^2$.

Я бы поставил вопрос вопрос глубже. Всегда ли корни уравнения являются его решением?

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

Я бы поставил вопрос вопрос глубже. Всегда ли корни уравнения являются его решением?

Тогда я еще углублю и заострю: "всегда ли масло масляное?"

[Yarkin]

Brukvalub писал(а):

Тогда я еще углублю и заострю: "всегда ли масло масляное?"

Зря. Ляпин и своем курсе высшей алгебры пишет, что он воздерживается от определения корней решениями.

[Батороев]

Someone писал(а):

Вы, наверное, не в курсе. Yarkin не считает $x=3$, $y=4$, $z=5$ целочисленным решением уравнения $x^2+y^2=z^2$.

Я сначала не поверил...

Yarkin писал(а):

Спасибо. С доказательством нахождения целочисленных решений (индусов) я знаком. Может быть у этого уравнения, кроме пифагоровых троек имеются другие целочисленные решения. Уравнение написано для чисел, а не для длин сторон...

Во-первых, именно, о числах я и писал.
Во-вторых, коль скоро речь зашла о треугольниках, то необходимо отметить, что на любых трех числах (если ни одно из них не превосходит суммы двух других), как на сторонах, всегда можно построить треугольник.
Вам остается лишь доказать, что при условии выполнения
$ x^2 + y^2 = z^2 $
треугольник со сторонами $ x, y, z $ может быть непрямоугольным.


p.s. Не знал, что целочисленные решения "индусами" называются

[PAV]

PAV:

Отделено в самостоятельную тему. Yarkin, не захватывайте чужие темы.

[Yarkin]

Батороев писал(а):

Во-первых, именно, о числах я и писал.
Во-вторых, коль скоро речь зашла о треугольниках, то необходимо отметить, что на любых трех числах (если ни одно из них не превосходит суммы двух других), как на сторонах, всегда можно построить треугольник.
Вам остается лишь доказать, что при условии выполнения
$ x^2 + y^2 = z^2 $
треугольник со сторонами $ x, y, z $ может быть непрямоугольным.

В тех определениях, в каких числа (кроме комплексных) определены, никаких треугольников не построить. А в длинах, с указанными Вами условиями можно. Одного этого уравнения для существования треугольника недостаточно. Поэтому, когда Вы используете пифагоровы тройки, для нахождения целочисленных решений этого уравнения, Вы автоматически используете достаточные условия существования треугольника.

[bot]

Yarkin писал(а):

bot писал(а):

Кроме того, нам всем известно описание всех целых решений уравнений $x+y=z$ и $x^2+y^2=z^2$, если что - можем поделиться.

Доказательства существования целочисленных решений второго уравнения я не встречал.

Наберите в любом поисковике строку "Пифагоровы тройки"

[PAV]

PAV:

Yarkin,

строгое замечание. Вы нарушаете мое указание. Ваши рассуждения о треугольниках и о природе чисел на этом форуме себя исчерпали.

[ljubarcev]

Уважаемый Yarkin ! Пифагоровы тройки – это тройки чисел, удовлетворяющие равенству $z^2=x^2+y^2$, то есть условию существования целочисленного прямоугольного треугольника. Давно доказано, что Все такие тройки находятся из тождества $(u^2+v^2)^2-(u^2-v^2)^2=4u^2v^2$. Так как это именно тождество, то оно справедливо для любой пары чисел $u;v$ (натуральных, рациональных, иррациональных, и др. для которых возможно неравенство $x+y>z$). Естественно, оно справедливо и в случае, когда числа $u;v$ натуральные в любой целой степени – одинаковой или различной. То есть всегда справедливо при $u=x^n$; $v=y^n$
$(x^{2n}+y^{2n})^2-(x^{2n}-y^{2n})^2=4x^{2n}y^{2n}$.
Последнему равенству удовлетворяет любая пара натуральных чисел $x;y$.
Если я Вас правильно понял – Вас интересует вопрос- существуют ли тройки натуральных квадратных чисел, которые дают не прямоугольный треугольник.
Ответ положительный. Например: треугольники со сторонами $(36:49:64)$; $(36:49:81)$ и т.д.
Дед.

[Батороев]

ljubarcev писал(а):

Например: треугольники со сторонами $(36:49:64)$; $(36:49:81)$ и т.д.

Если $ x=36, y=49, z=64 $, то $ x^2 +y^2 \neq z^2 $, т.е. такие треугольники - из "оперы", отличной от заявленой в теме

[Yarkin]

PAV писал(а):

Правильное утверждение звучит так: любое нечетное число можно представить в виде разности квадратов двух последовательных целых чисел.
Оно вытекает из следующей элементарной формулы (пишу сразу для числа того вида, которое Вам нужно):

$$ C^n=\left(\frac{C^n+1}{2}\right)^2-\left(\frac{C^n-1}{2}\right)^2 $$

которая проверяется устно.

Батороев писал(а):

Любое нечетное число можно можно представить в виде разности квадратов двух чисел по формуле:
$ n = (\frac{n+1}{2})^2 - (\frac{n-1}{2})^2 $,

в том числе и квадрат нечетного числа:
$ 3^2 =( \frac{3^2+1}{2})^2- (\frac{3^2-1}{2})^2 =5^2 - 4^2 $

Это, как минимум.

Someone писал(а):

Вы, наверное, не в курсе. Yarkin не считает $x=3$, $y=4$, $z=5$ целочисленным решением уравнения $x^2+y^2=z^2$.

bot писал(а):

Наберите в любом поисковике строку "Пифагоровы тройки"

ljubarcev писал(а):

Уважаемый Yarkin ! Пифагоровы тройки – это тройки чисел, удовлетворяющие равенству $z^2=x^2+y^2$, то есть условию существования целочисленного прямоугольного треугольника. Давно доказано, что Все такие тройки находятся из тождества $(u^2+v^2)^2-(u^2-v^2)^2=4u^2v^2$. Так как это именно тождество, то оно справедливо для любой пары чисел $u;v$ (натуральных, рациональных, иррациональных, и др. для которых возможно неравенство $x+y>z$). Естественно, оно справедливо и в случае, когда числа $u;v$ натуральные в любой целой степени – одинаковой или различной. То есть всегда справедливо при $u=x^n$; $v=y^n$
$(x^{2n}+y^{2n})^2-(x^{2n}-y^{2n})^2=4x^{2n}y^{2n}$$.
Последнему равенству удовлетворяет любая пара натуральных чисел $x;y$.

Уважаемые господа математики прошу вас не обижаться и не удивляться моим взглядам. Эта тема подробно рассмотрена у Постникова в его книге “Алгебраическая теория чисел”. Произвольно обращаться с тождествами нельзя. Надо изучить историю появления этих тождеств. Тождество, о котором идет речь доказано задолго до появления теории чисел и известно, как доказательство индусов. В то время для чисел ничего не доказывалось – все было связано с длинами.
Почитайте внимательно аксиомы Пеано и пощите там слово длина. Число и длина – два разных понятия. Когда вы доказываете или используете это тождество, убедитесь, что вы не используете размерность, которой у действительных чисел нет. Проверить это легко. Для этого достаточно рассмотреть это тождество, равно как и уравнение ВТФ, в комплексной плоскости и убедиться, что, говоря в этих объектах о числах, фактически используете длины.
Эта ошибка невидима и ее трудно осознать, а того, кто ее осознал могут считать не сведущим в математике. Когда вы смотрите в зеркало и говорите, что видите себя, вы делаете такую же ошибку. Если,показывая свою фотографию, вы говорите вот я, вы опять ошибаетесь. Эта ошибка считалась основной в прошлых столетиях и ее старались избегать.

Brukvalub писал(а):

Yarkin писал(а):

А В. Гюго в "Соборе парижской богоматери" писал: "Символ не есть число."

Как Вы. однако, обидно непочтительны с авторитетами! Вот я бы непременно написал "Великий и непревзойдённый математический гений, А В. Гюго в "Соборе парижской богоматери" писал: "Символ не есть число."

поправил цитирование // нг

[нг]

Yarkin
Абсолютно без обид, абсолютно формально: повторное строгое замечание за игнорирование требований модераторов.

dm:

Yarkin
Неделя за игнорирование замечаний.

PAV:

Тема закрыта по просьбе автора