Преобразование Фурье

[loshka]

Здравствуйте.
Ввели у нас в универе спец курс по рядам и преобразованиям Фурье, а ведет их старый маразматичный мужик, который не на один вопрос ответить толком не может, а я все не могу разобраться с одним моментом, в преобразование Фурье берется интеграл от комплекснозначной функции? Если да, то считать интеграл как в ТФКП где путь это ось X, или смотреть как на обычный интеграл из матана и рассматривать $I$ просто как число и потом только при вычислений значений первообразной применять различный формулы из ТФКП?

[Ms-dos4]

Брать как обычный интеграл (более того, ведь комплексная форма интеграла Фурье может быть разложена на синус и косинус преобразования, хотя это обычно усложняет дело). Методы ТФКП могут потребоваться там, где они требуются и у обычных несобственных интегралов.

[loshka]

Тогда вот не очень понятно что делать, когда первообразная получается что-то из серии $f(x)e^{itx}$ как тут вычислять значение в бесконечности? Разложил в синусы и косинусы, но ведь ничиго хорошего это не дает

[Ms-dos4]

Функция $\[f(x)\]$ занулит. Она же должна быть интегрируема с квадратом, иначе всё более сложно - требуются обобщённые функции.

-- Ср дек 03, 2014 19:00:19 --

Я дополню, если вы не поняли, то что я написал в первом посте. Вычисляете интеграл вы конечно по действительной оси(т.е. как обычный), но никто вам не запрещает использовать методы ТФКП, так как часто они значительно упрощают вычисление

[Brukvalub]

Кстати, набор элементарных функций, для которых преобразование Фурье выписывается в явном виде (т.е. в виде элементарной функции), не так уж и велик. Да и "методы ТФКП", которые заточены, в основном, на вычисление определенных интегралов, а не интегралов с параметром, не очень-то помогают (правда, есть несколько случаев, когда они полезны).

[loshka]

хочется разобраться на простом примере, пусть $f(x)=xe^{-x}$ $x>0$

$F(t)=1/\sqrt{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-x}e^{-itx}dx$

первообразная получается $e^{-x(it+1)}((it+1)x+1)/\sqrt{2\pi}(it+1)^2$

и вот тут начинается самое не понятное, как посчитать значение первообразной в +плюс бесконечности?

[Brukvalub]

Так вы написали НЕ преобразование Фурье...

[ИСН]

Ну это вторично.
loshka, науку о нахождении пределов знаете?

[loshka]

оу, эм, вы прямо повергли в шок, эм, а почему это не является преобразованием Фурье, все же вроде прямо как в учебнике

да, знаю, просто не понятно как на сие чудо смотреть, как комплексную функцию и отдельно брать пределы у действительной и мнимой части?

[Brukvalub]

Напишите сюда ОПРЕДЕЛЕНИЕ преобразования Фурье.

[loshka]

функция $F(t)=1/\sqrt{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{itx}dx$ называется преобразованием Фурье

Я так понимаю знак у экспоненты можно менять знак и если с минусом взять прямое преобразование, то с плюсом будет обратное


а вот как пределы считать не очень понятно, отдельно у действительной и мнимой части?

[Brukvalub]

А теперь посмотрите, какие пределы интегрирования вы написали, решая пример.

[loshka]

так типо функция же определенна на x>0 зачем писать там где она не определенна или равна нулю

[ИСН]

Так всё ОК, там дальше-то функция 0.

loshka в сообщении #939796 писал(а):

как комплексную функцию и отдельно брать пределы у действительной и мнимой части?

Ну да, а как же ещё?

[loshka]

оу, спасибо