Линейная оболочка векторного пространства

[main.c]

Viktor92 в сообщении #939400 писал(а):

А ответ должен быть числом?

Ну почему же числом. В определении ведь сказано, что это множество всевозможных линейных комбинаций. А значит это множество векторов.

Viktor92 в сообщении #939400 писал(а):

Один вектор вероятно всё таки породит прямую в чётырёхмерном пространстве.

Всё верно, прямую. А два неколлинеарных вектора порождают плоскость, а три некомпланарных - 3-мерное пространство. Но тут я хочу Вас предостеречь в том, что не всегда $n$ векторов порождают $n$-мерное пространство, оно может быть и меньшей размерности. Я полностью согласен с kp9r4d, выпишите в явном виде линейную оболочку вектора $(1,2,0,1)$. Открывайте определение и прям по нему выписывайте.

[Evgenjy]

Viktor92 в сообщении #939320 писал(а):

Например есть векторное пространство чисел $V=\lbrace -15,-14,...,0,...,14,15\rbrace$ над полем $K=\lbrace-1,0,1\rbrace$, размерность его очевидно равна $dimS=15$, как минимальное число линейно независимых векторов (базис).

$V=\lbrace -15,-14,...,0,...,14,15\rbrace$ не является векторным пространством над полем $K=\lbrace-1,0,1\rbrace$. 15-ти мерное векторное пространство над полем $K=\lbrace-1,0,1\rbrace$ содержит $3^{15}$ векторов. За базис можно принять следующие 15 векторов:
$(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$
$(0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$
..................................................
$(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1)$

[iifat]

Evgenjy в сообщении #939468 писал(а):

15-ти мерное векторное пространство над полем $K=\lbrace-1,0,1\rbrace$ содержит $3^{15}$ векторов

Хм. Точнее говоря, отсюда следует, что $V$ не является пятнадцатимерным линейным пространством. Линейным пространством оно не является, поскольку не определено сложение.

(Оффтоп)

Интересно, если определить сложение на $V$ как остаток от деления на 31, а на $K$ — соответственно, на 3, получится? А, нет: $\vec1+\vec1+\vec1=3$, $\vec1+\vec1+\vec1=(1+1+1)\vec1=-\vec1$

[ewert]

iifat в сообщении #939500 писал(а):

Интересно, если определить сложение на $V$ как остаток от деления на 31

Не на 31, а на 16.

[iifat]

ewert в сообщении #939519 писал(а):

Не на 31, а на 16

Именно на 31. На 16 было бы от 0 до 15, ну или от -8 до 7.
И таки да, я соврал: $1+1+1=0$ в группе остатков от деления на 3. Хотя вывод остаётся тем же.

[ewert]

iifat в сообщении #939527 писал(а):

На 16 было бы от 0 до 15, ну или от -8 до 7.

Не или: -8 было бы равно 8.

[Viktor92]

main.c в сообщении #939416 писал(а):

Я полностью согласен с kp9r4d, выпишите в явном виде линейную оболочку вектора $(1,2,0,1)$. Открывайте определение и прям по нему выписывайте.

По определению линейная оболочка системы векторов - это множество их линейных комбинаций, в нашем случае получается: $\lambda_1*(1,2,0,1)+\lambda_2*(0,0,0,0)$ , где пусть $\lambda\in{R}$.
А элементарными преобразованиями вектор-столбец можно привести к виду $1,0,0,0$, это и будет базис (размерность) линейной оболочки и следовательно пространства поражаемого вектором $1,2,0,1$ . Правильно?

[kp9r4d]

Viktor92 в сообщении #939730 писал(а):

По определению линейная оболочка системы векторов - это множество их линейных комбинаций, в нашем случае получается: $\lambda_1*(1,2,0,1)+\lambda_2*(0,0,0,0)$ , где пусть $\lambda\in{R}$.

Обе лямбды в $\mathbb{R}$ или какая-то одна из? Нельзя ли выражение $\lambda_1*(1,2,0,1)+\lambda_2*(0,0,0,0)$ немного упростить?

Viktor92 в сообщении #939730 писал(а):

А элементарными преобразованиями вектор-столбец можно привести к виду $1,0,0,0$, это и будет базис (размерность) линейной оболочки и следовательно пространства поражаемого вектором $1,2,0,1$ . Правильно?

Почему написано базис, а затем размерность - в скобках? Это одно и то же? Хорошо, линейной комбинацией векторов из базиса, как известно, можно представить любой вектор из пространства единственным образом. Какой линейной комбинацией системы векторов из одного вектора $1,0,0,0$ можно представить вектор $1,2,0,1$?

[Viktor92]

Цитата:

Обе лямбды в $\mathbb{R}$ или какая-то одна из? Нельзя ли выражение $\lambda_1*(1,2,0,1)+\lambda_2*(0,0,0,0)$ немного упростить?

Да подразумевалось , что обе. Упростить можно опустив нулевой вектор, т.е. $\lambda*(1,2,0,1)$ , $\forall {\lambda\in{\mathbb{R}}}$

Цитата:

Почему написано базис, а затем размерность - в скобках? Это одно и то же?

Но ведь размерность пространства можно определить, как число линейно независимых векторов в этом пространстве, которые составляют какой либо базис, не одно и тоже, но одно вытекает из другого.

Цитата:

Какой линейной комбинацией системы векторов из одного вектора $1,0,0,0$ можно представить вектор $1,2,0,1$?

$1*(1,0,0,0)+2*(0,1,0,0)+1*(0,0,0,1)$ (это вектор-столбцы) Вот так, ведь строки переставлять можно вроде бы или я путаю с матрицей коэффициентов линейной системы?

[provincialka]

Вопрос был про один вектор.

[Viktor92]

Через один вектор нельзя никак получить (1,2,0,1)

[provincialka]

Ну да. Через один вектор $(1,0,0,0)$ нельзя. Так что лучше про него и не вспоминать.
По-моему, мы ушли от начальной темы. Так чем (геометрически) будет линейная оболочка вектора $(1,2,0,1)$?

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #939804 писал(а):

Но ведь размерность пространства можно определить, как число линейно независимых векторов в этом пространстве, которые составляют какой либо базис

Длинновато сказали. Размерность — просто число векторов в каком-либо базисе, т. к. базис линейно независим по определению.

[Viktor92]

Если провести аналогию: в 3-мерном линейной оболочкой множества коллинеарных (линейно зависимых) векторов будет прямая, размерность её будет 1(через 1 базисный вектор всё можно выразить) . Тогда в 4-мерном также будет прямая, но какова её размерность? Судя по всему необходимо 3 базисных вектора, как я выше написал , чтобы линейной комбинацией задать $(1,2,0,1)$, получается размерность будет равна 3.

[kp9r4d]

Viktor92 в сообщении #939832 писал(а):

Судя по всему необходимо 3 базисных вектора, как я выше написал , чтобы линейной комбинацией задать $(1,2,0,1)$, получается размерность будет равна 3.

Четырёхмерное пространство это, всё-таки, ужасно сложно, давайте двумерное. Выпишите линейную оболочку, порожденную вектором $(1,1)$, выпишите три различных вектора, принадлежащих вышеупомянутой оболочке, выпишите какой-нибудь базис этой линейной оболочки.