Вычисление нормы оператора функционала

[germ9c]

$f \in (C[0;1])*$ -сопряженное пространство
$f(x)=\int_{0}^{1} x(t)dt -x(1) $
оценим
$|f(x)| = |\int_{0}^{1} x(t)dt -x(1)|$
применим неравенство треугольника
$|\int_{0}^{1} |x(t)dt -x(1)| \leqslant |\int_{0}^{1} x(t)dt| + |x(1)| \leqslant \int_{0}^{1} |x(t)dt| + ||x||$
$\leqslant \int_{0}^{1}||x||dt + ||x|| =||x||+||x|| =2||x||$
$||f||\leqslant 2$
теперь докажем равенство
$|\int_{0}^{1} x(t)dt -x(1)| = |\int_{0}^{1} x(t)dt| + |x(1)|$ , при разных знаках интеграла и $x(1)$, возникнет равенство.

дальше рассмотрим $|\int_{0}^{1} x(t)dt| + |x(1)| = \int_{0}^{1} |x(t)dt| + ||x||$
возникает равенство модуль интеграла равен интегралу модуля , функция постоянного знака.

а $|x(1)|=||x||
$\int_{0}^{1} |x(t)| dt +||x|| = \int_{0}^{1} ||x||dt +||x||$
выполняется равенство, когда всюду равна его максимуму. функция равна своей норме.



Вопрос:
Все условия одновременно невыполнимы . Какое из условий можно немного пренебречь

[nnosipov]

germ9c в сообщении #939193 писал(а):

теперь докажем равенство
$|\int_{0}^{1} x(t)dt -x(1)| = |\int_{0}^{1} x(t)dt| + |x(1)|$ ,

Не надо. Нужно придумать такие $x_n=x_n(t)$, чтобы $\|x_n\|=1$ и $f(x_n) \to 2$.

[germ9c]

nnosipov
уже план написан, все условия для равенства одновременно невыполнимы, нужно из всего написанного, исключить какое-то условие , которое не слишком повлияет

[demolishka]

Не слишком повлияет на что? У вашего функционала норма не достигается на единичном шаре. Поэтому вам нужно проделать то, что сказал nnosipov.

[cool.phenon]

(Оффтоп)

уже где-то 4 такое задание за год, почему никто не берёт общий вид функционала в сопряжённом пространстве? а затем по общей методике считается норма.

[germ9c]

cool.phenon
преподаватель решил это задание, от нас требуется догадаться:Для достижения равенства там было несколько условий, все переписал. Но они не могут выполняться все одновременно. Посмотреть чем можно пренебречь, чтобы равенство достигалось лучше всего

[provincialka]

germ9c в сообщении #939301 писал(а):

чтобы равенство достигалось лучше всего

Вы сами понимаете, что это значит? Погрешность, что ли, сравнивать собираетесь?

[cool.phenon]

germ9c
Я это уже много раз это говорил, но пространство функций ограниченной вариации является сопряженным к $C[a,b]$, а общий вид функционала совпадает с интегралом Римана-Стилтьеса, норма его равна просто вариации на отрезке. Может, это просто только у меня в универе учат?

[ewert]

Не надо никаких вариаций.

germ9c в сообщении #939193 писал(а):

Все условия одновременно невыполнимы . Какое из условий можно немного пренебречь

Интеграл можно сделать сколь угодно близким к единице при более-менее любом поведении функции в малой окрестности правого конца. Вот и стройте последовательность непрерывных функций, которые на правом конце равны минус единице, а во всех остальных точках стремятся к плюс единице.